Правило Лопіталя можна застосовувати при розкритті невизначеностей вигляду 
.
Приклади.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
Знайдемо 
.
Отже, 
.
5. 
.
Знайдемо 
.
Отже, 
.
ЛЕКЦІЯ 20
23. Формула Тейлора для многочлена.
24. Формула Тейлора для довільної функції.
Формула Тейлора для многочлена.
Розглянемо многочлен
,
де 
- дійсні числа. Продиференціюємо многочлен 
раз.
Якщо в наведених формулах покласти 
, то одержимо
Отже, можна записати
(1)
Нехай маємо многочлен за степенями 
, де 
- деяке стале дійсне число, тобто
,
де 
- дійсні числа. Поклавши 
, матимемо
.
Звідси аналогічно до попереднього, одержимо
(2)
Формула (1) є окремим випадком (
) формули (2). Кожну із цих формул називають формулою Тейлора. Формулу (1) інакше називають формулою Маклорена.
Формула Тейлора для довільної функції
Теорема Тейлора. Нехай функція 
в точці і в деякому її околі має похідні 
- го порядку. Нехай також 
деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка 
, яка лежить між точками і 
, така, що
(3)
Доведення. Позначимо
Покладемо
Покажемо, що існує точка 
така, що
.
Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що 
. Нехай 
- змінна, яка пробігає значення відрізку 
. Складемо допоміжну функцію
.
Функція 
на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:
1) неперервна на ,
2) диференційована на ,
(ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )
3) на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно
Отже, за теоремою Ролля існує точка 
така, що 
. Знайдемо 
.
Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то
.
Далі маємо:
.
Звідси одержуємо:
.
Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз 
- залишковим членом у формі Лагранжа.
Оскільки , то 
, де 
. Тоді
, де .
Якщо в формулі Тейлора покласти 
, то тоді
При 
маємо формулу Лагранжа
Якщо функція 
в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з 
при 
. Дійсно
.
Отже, залишковий член можна подати у формі
при ,
яка називається формою Пеано.
Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена
.
У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд
де ,
а в формі Пеано
.
Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Розв'язування.
1) . Оскільки 
, то 
. Отже,
.
2) . Так як 
, то
Звідси маємо
3) . 
;
;
ЛЕКЦІЯ 21
25. Ознака монотонності функції.
26. Екстремальні точки.
27. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.
4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.
