Достатні умови існування екстремуму функції

Теорема. Нехай - критична точка функції , неперервна в точці і має похідну в усіх точках околу за виключенням, можливо самої точки . Тоді

1) якщо і , то точка є точкою максимуму функції .

2) якщо і , то точка є точкою мінімуму функції .

3) Якщо в околі має один і той же знак, то не є точкою екстремуму функції .

Доведення. 1). Нехай і . Звідси за ознаками монотонності функції маємо: якщо і . Отже, для будь-якого із околу виконується нерівність , тобто точка є точкою максимуму функції .

Доведення пунктів 2), 3) аналогічні.

Із сказаного випливає правилодослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум треба:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти - першу похідну функції .

3. Розв’язати рівняння та визначити ті значення , при яких або не існує. Нехай після виконання цих дій одержано точки , які знаходяться в інтервалі області визначення функції .

4. У кожному з інтервалів взяти довільну точку і визначити в ній знак першої похідної. Який знак матиме похідна у вибраній точці, такий же знак вона матиме й у відповідному інтервалі.

5. Розглянути знак у сусідніх інтервалах, переходячи послідовно зліва направо від першого інтервалу до останнього. Якщо при цьому знаки у двох сусідніх інтервалах різні. То в критичній точці є екстремум: максимум, якщо знак змінюється з “+” на “-“, мінімум, якщо знак змінюється з “-“ на “+”. Якщо ж у двох сусідніх інтервалах знак першої похідної не змінюється. То екстремуму у відповідній критичній точці немає.

Приклад. Дослідити наекстремум функцію

.

Розв’язування.

1. Функція визначена в інтервалі .

2. .

3. Розв’язками рівняння є .

4. В інтервалі , функція спадає; в інтервалі , функція зростає; інтервалі , функція спадає; в інтервалі , функція зростає.

5. Точки є точками мінімуму, а точка є точкою максимуму даної функції.

6. .

Для знаходження екстремумів функції можна застосовувати другу похідну . Це випливає із наступної теореми.

Теорема. Нехай - стаціонарна точка функції і в цій точці існує похідна другого порядку . Тоді, якщо , то точка є точкою мінімуму функції , а якщо , то – максимуму.

Доведення. Згідно з умовою теореми . Нехай . Тоді похідна в точці є зростаючою функцією, а тому існує окіл точки такий, що і . Оскільки , то і , тобто при переході через точку похідна змінює свій знак з “-“ на “+”. Отже, точка є точкою мінімуму функції .

Випадок, коли досліджується аналогічно.

Скориставшись формулою Тейлора, можна довести наступну теорему.

Теорема. Якщо в стаціонарній точці функції перша відмінна від нуля похідна є похідною парного порядку, то точка є точкою екстремуму функції : точкою мінімуму, якщо і точкою максимуму, якщо . Якщо ж перша відмінна від нуля похідна є похідною непарного порядку, то точка не є точкою екстремуму функції .

 

 

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку

Для знаходження найбільшого й найменшого значення функції , неперервної на відрізку , потрібно знайти всі її локальні екстремуми на цьому відрізку та її значення на кінцях відрізка, тобто . Потім з одержаних значень вибрати найменше й найбільше.

 

 

 

ЛЕКЦІЯ 22

 

1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину.

2. Асимптоти графіка функції.

3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків.