Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість, а саме: похідна від пройденого шляху 
по часу 
дорівнює миттєвій швидкості 
в момент часу , тобто
.
Геометричний зміст похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна 
, якщо вона існує, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції 
в точці з координатами 
, 
.
Односторонні похідні
Використовуючи означення правої і лівої границі, введемо поняття правої і лівої похідної функції в точці .
Правою (лівою) похідною функції в точці називається права (ліва) границя відношення 
при 
(за умови, що ця границя існує).
Права похідна позначається так: 
, а ліва 
.
Якщо функція в точці має похідну, то вона має як праву, так і ліву похідну і ці похідні рівні між собою. Проте не в кожній точці , у якій існують права і ліва похідні, існує похідна функції. Так, наприклад, функція 
в точці 
має праву похідну
і ліву 
, але похідної в точці функція не має, оскільки 
.
Нескінченні похідні
Якщо відношення при прямує до 
або 
, то це невласне число називається нескінченою похідною.
Геометричний зміст похідної як кутового коефіцієнта дотичної розповсюджується і на цей випадок. Тут дотична паралельна вісі 
(рис. 17, 18, 19).
Аналогічно установлюється поняття односторонньої нескінченої похідної. У цьому випадку наявність в точці різних за знаком односторонніх нескінченних похідних забезпечує існування єдиної вертикальної дотичної.
ЛЕКЦІЯ 16
10. Диференційовність функції.
11. Похідні елементарних функцій.
12. Похідна оберненої функції.
Диференційовність функції
Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді
, (1)
де 
- деяке число, не залежне від 
, а 
- нескінчено мала функція при , тобто 
.
Зв'язок між диференційованістю функції в точці і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.
Теорема. Для того, щоб функція функції була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.
Доведення. Необхідність. Нехай функція диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді
.
Звідси випливає, що в точці існує похідна 
.
Достатність. Нехай функція має в точці похідну . За означенням похідної маємо 
. За властивістю границі 
є нескінченно малою функцією при . Отже, 
, тобто 
, де - деяке число, а .
Зауваження. Вираз не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти 
.
Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.
Теорема. Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.
Доведення. Так як функція диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .
Тоді
.
Отже, в точці , де функція диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці функція неперервна.
Наслідок. Якщо функція в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.
Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.
