Занятие № 11. Интерполяция с кратными узлами и формула Эрмита

Формально можно считать, что нахождение такого много­члена состоит в том, чтобы однозначно определить п +1 коэффициентов a₀, а₁,..., а_п его канонического представления

(4)

из условий (3). В силу предположения (2) о суммарной кратности узлов эрмитовой интерполяции, совокупность требо­ваний (3) можно рассматривать как систему из п+1 уравне­ний относительно п+1 неизвестных — коэффициентов a_k мно­гочлена (4):

Выявление общего вида интерполяционных многочленов Эрмита Н_п(х) представляет непростую задачу и требует при­влечения определенных сведений из теории функций комплекс­ной переменной. Рассмотрим одну из возможных процедур фактического построения таких многочленов, не тре­бующую знания их общего вида.

Пусть L_m(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по данным т+1 значениям y_i = f (x i = 0,1,..., т. Будем пользоваться обо­значением Так как по ус­ловию т заведомо не превосходит п, то по теореме о делении многочлена с остатком искомый многочлен Эрмита Н_п(х) можно представить в виде

(5)

где H_n-(m+1)(x) — некоторый неизвестный пока многочлен степени п-т- 1.

Для построения многочлена H_n-(m+1)(x) будем привлекать информацию о производных данной функции, т.е. равенства в тех узлах х_i где первые производные, в соответ­ствии с (1), заданы (информация о самих значениях функции уже полностью исчерпана: в силу для всех х_i от х₀ до х_m, согласно (5), будет и при любых i∈{ 0,1,..., т}).

Продифференцировав равенство (5), имеем

(6)

Поскольку в тех узлах х_i, где по условию эрмито­вой интерполяции справедливо можно записать

Отсюда выражаем значения многочлена H_n-(m+1)(x) в этих уз­лах:

Правая часть этого равенства может быть вычислена; обо­значим ее через . Таким образом, в ряде узлов х_i известны зна­чения многочлена H_n-(m+1)(x) = , по которым этот многочлен однозначно восстанавливается обычной лагранжевой интерполя­цией, если в условиях (1) не содержится производных поряд­ка, выше первого (т.е. нет ни одного узла кратности больше 1); подстановка найденного многочлена H_n-(m+1)(x) в (5) приво­дит к искомому интерполяционному многочлену Эрмита. Если же в исходной информации (1) об f(x) имеются значения производных более высокого порядка, чем первый, то для вос­становления многочлена H_n-(m+1)(x) ставится задача эрмитовой же интерполяции, для чего наряду с полученными его значения­ми , находят значения его производных путем дифференциро­вания равенства (6) (возможно неоднократного, в зависимости от максимального порядка заданных производных функции f(x)). Эта процедура построения интерполяционных многочле­нов Эрмита все более низких степеней продолжается до исчер­пывания всей информации (1) о функции и ее производных.

Рассмотрим реализацию описанного процесса эрмитовой интерполяции на простом примере, демонстрирующем возмож­ность восстановления многочлена n-й степени по его значениям и значениям некоторых его производных при суммарной кратно­сти узлов п+ 1.

Пример. Пусть сведения о некоторой функции у= f(x) пред­ставлены следующей дискретной информацией:

В соответствии с обозначениями (1) здесь: т=2;к₀-1 =1, k₁ - 1 = 2, к₂ -1=1 => п+1=к₀+к₁+к₂ = 7 => n =6.Таким образом, по данным сведениям о функции у = f(x), сосредоточенным в трех узлах кратности, соответственно, 2, 3, 2, следует строить интерполяционный многочлен Эрмита Н₆(х).

Согласно предложенной выше схеме, сначала, пользуясь столбцами таблицы данных, записываем интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени

Далее по формуле (5) представляем Н₆(х) через L₂(x),H₃ (x) и П₃(х):

(7)

и дифференцируем этот многочлен дважды:

Подстановкой в значений х = -1, х = 0 и х=1 иприравниванием заданным значениям получаем значения

Учитывая их, из условия Я находим

Итак, для выявления многочлена H ₃(х) в (7) снова имеем задачу
эрмитовой интерполяции с данными, содержащимися в следующей
таблице:

Здесь: В соот­ветствии с (5), для этого случая записываем:

(где — многочлен Лагранжа, интерполирующий функцию Н₃(х))- Остается найти постоянную H₀, для чего воспользуемся условием Имеем:

Следовательно,

Подставив это в (7), получаем окончательное выражение искомого многочлена: