Определение. Полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлено в соответствие определенное значение некоторой физической величины.
Если физическая величина скалярная, то поле называется скалярным, а если векторная, то векторным.
Примерами скалярных полей могут служить поле распределения температуры, поле распределения потенциала в электрическом поле и т.д.
Примерами векторных полей служат: силовое поле, поле скоростей текучей жидкости, магнитное поле и т.д.
Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке P определена скалярная функция u (P), называемая функцией поля.
Иногда пишут u (x, y, z).
Определение Поверхностью уровня скалярного поля называют геометрическое место точек, в которых функция u принимает постоянное значение, т.е.
u (x, y, z) = C
Если в частном случае скалярное поле плоское, т.е. мы изучаем распределение значений физической величины в какой-то плоской области, то функция поля u зависит от двух переменных, например х и у. Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции u (x, y)
u (x, y) = C
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения функции поля в заданном направлении.
Пусть нам задана функция поля u (x, y, z).
Возьмем т. Р(x, y, z) и какой-нибудь луч 
, из нее выходящий. Направление этого луча зададим углами α, β, γ, которые он образует с направлением осей ox, oy, oz.
Если 
- единичный вектор, направленный по лучу λ, то его проекциями будут направляющие косинусы
Пусть т. Р1(x1, y1, z1) лежит на луче λ, Расстояние РР1 обозначим через ρ. Проекции вектора 
на оси координат будут, с одной стороны, равны
ρ cos α, ρ cos β, ρ cos γ,
а с другой стороны – разностям x1 – x, y1 – y, z1 – z.
Следовательно,
Рассмотрим теперь приращение функции u при переходе из т. Р в т. Р1
Если т. Р будет изменять свое положение на луче λ, то в выражении для разности u(P1) – u(P) будет меняться только величина ρ.
Составим отношение 
и перейдем к пределу при 
, предполагая, что этот предел существует.
Определение. Предел
(1)
называется производной от функции u(x, y, z) по направлению λ в т. Р.
Этот предел будем обозначать символом 
или 
Величина его зависит от выбранной т. Р(x, y, z) и от направления луча λ,
т.е. от α, β, γ.
Если т. Р фиксирована, то величина производной будет зависеть только от направления луча λ.
Из определения производной по направлению следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением оси ох,
т.е. 
, 
, то lim (1) будет просто равен частной производной от функции u(x, y, z) по х:
Аналогично получаем частные производные 
, 
Подобно тому как частные производные 
, , характеризуют скорость изменения функции u в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции поля u(x, y, z) в т. Р по направлению луча λ. Абсолютная величина производной по направлению λ определяет величину скорости, а знак производной характер изменения функции u (возрастание или убывание).
Вычисление производной по направлению производится при помощи следующей теоремы:
Теорема: Для всякой дифференцируемой функции u(x, y, z) существует производная по любому направлению λ, причем
,
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы луча λ.
Доказательство. Полное приращение для функции u (x, y, z) будет
,
где Е – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ρ. Полагая 
, 
, 
, получим
причем 
при .
Разделим обе части последнего равенства на ρ
Переходя к пределу при , получим:
ч.т.д.
Пример: Дана функция u = xyz. Найти ее производную в т. Р(5, 1, 2) в направлении, идущем от этой точки к точке Q(7, -1, 3).
Находим частные производные функции u = xyz
, 
, 
и вычислим их значения в т. Р
, 
, 
, то
, 
, 
Следовательно 
Знак минус указывает, что в данном направлении функция убывает.
Если поле плоское, то направление луча λ вполне определяется углом α его наклона к оси абсцисс. Формулу для производной по направлению можно получить из общей формулы, положив 
, 
Тогда 
Если α = 0, то 
,
если 
, то 
