Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода.

В трехмерном измерении (т.е. пространство) задана кривая L с концами в т. А и В. Во всех ее точках задана функция ƒ(x, y, z). Разобьем кривую L на n частей точками А_о = А, А_1, А_2, …, А_n = В.

Пусть - длина дуги А_к-1А_к. На каждой дуге А_к-1А_к берем по точке () и составим сумму вида

Ее предел при max ∆S_к→0 называют криволинейным интегралом первого рода и обозначают так

 

Если в частности кривая L лежит в плоскости xoy, то функция ƒ(x, y) зависит от двух переменных и криволинейный интеграл первого рода имеет вид

 

 

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла.

1) Рассмотрим

 

Пусть кривая L задана параметрически

x = x(t)

y = y(t) α ≤ t ≤ β

 

 

дифференциал

 

Тогда

в правой части равенства определенный интеграл.

 

Если кривая L задана явно уравнением у = у(x), a ≤ x ≤ b,

то

 

Пример 1. Вычислить , если

от т. А(1; ) до т.В (2; 2)

 

Пример 2: Вычислить

где

 

 

2) Если кривая L пространственная и задана параметрически

α ≤ t ≤ β

то

Пример 3 Вычислить

где L: