Поверхностные интегралы первого рода

Пусть в каждой точке некоторой поверхности σ, ограниченной линией L определена функция ƒ(p). Разобьем поверхность σ произвольными кривыми на части ∆σ_1, ∆σ_2,..., ∆σ_n. Площадь каждой из них обозначим так же

∆σ_1, ∆δ_2,..., ∆δ_n_.Выбрав в каждой из них произвольную точку Р_i составим сумму

∑ ƒ (Р_i) ∆δ_i, которую называют интегральной суммой.

i=1

Предел этой суммы при max ∆σ_i→0 называют поверхностным интегралом первого рода и обозначают или ,

при этом переменные x, y, z связаны условием: точка (x, y, z) лежит на поверхности σ.

Его вычисление сводится к вычислению двойного интеграла.

Поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) и проектируется на плоскость xoy в области D.

Площадь поверхности

где (x_i^*, y_i^*) – некоторая точка, лежащая в области D (т. ∆S_i)

где ∆S_i – площадь площадки ∆S_i.

т. P_i ∆ σ _i

P_i = P(x_i, y_i, z_i)

0 y

Вычисляя предел левой и правой части при max ∆σ_i→0 (maxΔS_i→0) получим в левой части поверхностный интеграл, а в правой части двойной интеграл по области D.