Поверхностный интеграл первого рода есть поверхностный интеграл от скалярной функции.
Пусть теперь на поверхности σ задана некоторая векторная функция
Определим интеграл от этой функции по поверхности σ. Но в этом случае важно по какой стороне поверхности провести интегрирование. Сторону поверхности можно указать, проведя в произвольной т. Р единичный вектор нормали 
.
Разобьем поверхность σ на n площадок ∆σi, на каждой из них возьмем произвольную т. Рi и рассмотрим сумму
(1)
–значение вектора 
в т.Рi
–единичный вектор нормали в этой точке
–скалярное произведение этих векторов.
Предел суммы (1) при maxΔσi→0 называется поверхностным интегралом второго рода и обозначается cимволом 
Таким образом
n → → → →
lim ∑ Fi·ni ∆ σ i = ∫∫ F·n d σ (2)
i=1 σ
max Δσ i→0
Каждое слагаемое суммы
(3)
равно объему цилиндра с основанием ∆ σi и высотой Fi cos 
 |
Если вектор есть скорость жидкости, протекающей через поверхность σ, то произведение (3) равно количеству жидкости, протекающей через площадку ∆σi за единицу времени в направлении вектора 
Поверхностный интеграл 
представляет собой общее количество жидкости, протекающей через поверхность σ за единицу времени в положительном направлении.
Итак, если под вектором подразумевать вектор скорости течения жидкости, то
→
поверхностный интеграл (2) называется потоком векторного поля F через поверхность σ.
Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность σ разбить на части σ 1, σ 2, …, σ n, то
Единичный вектор имеет вид 
Тогда
(2)
где 
представляют проекции площадки ∆δ на координатные плоскости
z
→
n
∆δxz
x y
На основании этого поверхностный интеграл записывают в другой форме
