Примеры. 49. Вычислить циркуляцию вектора вдоль окружности x2+y2=1, z=0 в положительном направлении

49. Вычислить циркуляцию вектора вдоль окружности x²+y²= 1, z= 0 в положительном направлении.

Решение. В этом случае P=y; Q=x; R= 1. Следовательно,

по формуле Стокса

Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы:

50 , где L - окружность x²+y²+z² a², x+y+z= 0, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной оси Ox.

Решение. Применив формулу Стокса и взяв в ней в качестве поверхности Ф круг радиуса а, лежащий в плоскости x+y+z= 0, получаем:

где - направляющие косинусы нормали к поверхности Ф – плоскости x+y+z= 0, так как нормаль этой плоскости образует с положительным направлением оси Oz острый угол, то в каждой из формул для вычисления перед знаком радикала возьмем знак "+".

Очевидно, , в силу чего имеем:

Ответ:

51. L - замкнутая кривая x=a cos t, y=a cos2 t, z=a cos3 t, пробегается в направлении возрастания параметра t.

Решение. При изменении t от 0 до p подвижная точка М(x,y,z) пробегает кривую L от точки M₀(a_,a_,a) до точки M₁(-a_,a_,-a), а при изменении t от p до 2p точка М пробегает ту же самую часть кривой L в противоположном направлении – от точки М, до точки М₀. Таким образом, точки замкнутой кривой L взаимно накладываются и кривая L не ограничивает никакой поверхности, вследствие чего I =0.

Ответ: 0.