54. Найти ротор векторного поля 
.
Решение. 
= 
= 
= 
= 
= 
=0, то 
Ответ: 
55. Найти rot (grad u), если u=x2+ y2+ z2
Решение. Поскольку grad u = 2 x2 
+ 2 y2 
+2 z2 
, то rot (grad u)=
Ответ:
56. Найти ротор поля скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью 
.
Решение. Как известно, скорость твердого тела определяется по формуле
Отсюда находим 
.
Таким образом, 
, характеризуя "вращательную компоненту" поля скоростей, равен удвоенной скорости вращения.
57. Доказать, что завихренность поля достигает наибольшего значения в направлении ротора.
Решение. Завихренность поля 
в направлении 
равна проекции ротора на это направление, т.е. 
.Отсюда видно, что поле наибольшую завихренность имеет в случае, когда 
=1, а это означает, что направление нормали совпадает с направлением 
, причем наибольшая завихренность равна 
.
58. Вычислить ротор векторного поля: = y2 - x2 +z2 .
Решение 
.
Ответ: 
.
