Примеры. 27. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля вдоль кривой x=3cost, y=sint с

27. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля вдоль кривой x= 3cos t, y= sin t с

обходом по часовой стрелке.

Решение. Данная кривая является эллипсом. Обход кривой совершается по часовой стрелке, поэтому t меняется от 2p до 0. Следовательно, циркуляция вычисляется следующим образом: . Ответ: –3p

28. Вычислить циркуляцию вектора вдоль окружности в положительном направлении.

Решение. Параметрическое уравнение окружности: x =cos t, y =sin t, z =0, 0 £ t £ 2 p. Поскольку P = –y =

= ‑ sin t, Q=x= cos t, R= 1, dx= – sin tdt, dy= cos tdt, dz=0, то по определению циркуляции получаем:

.

Ответ: 2p

29. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура квадрата

ABCDA, определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a; z= 0. См. рис. 2.

Решение. Имеем: , так как z= 0 и dz= 0. Разбиваем искомую циркуляцию на четыре линейных интеграла, причем в качестве параметра на каждой стороне квадрата выбираем координату y:

Ответ: –2а².