Пусть векторное поле 
определено в пространственной области Е. Выберем в этой области какую-нибудь кривую ℓ. Ориентируем эту кривую, указав на ней положительное направление, для чего установим на ℓ начальную точку А и конечную – В (рис. 1). Пусть 
– орт касательной в точке М к кривой ℓ, совпадающей по направлению с направлением кривой. Разобьем кривую ℓ любым образом на n "элементарных дуг" длиной D Sk (k=1,2, …,n) в направлении от А к В и в произвольном месте каждой элементарной дуги возьмем по точке Mk. Для k -й элементарной дуги составим произведение
(1)
а затем просуммируем все подобные произведения по всем k:
(2)
Мы пришли к интегральной сумме первого рода по кривой ℓ. Если функции P, Q, R непрерывны в области Е, а maxD Sk – наибольшая из длин D Sk, то при условии maxD Sk ® 0 сумма (2) стремится к конечному пределу, которым является криволинейный интеграл первого рода от функции 
по кривой ℓ:
. (3)
Вводя в рассмотрение векторный элемент 
линии ℓ с координатами dx, dy, dz, можем представить интеграл (3) в координатной форме:
. (4)
Особенно большую роль играет в теории поля криволинейный интеграл (4) в случае, когда кривая ℓ, по которой он берется, замкнута, т.е. в случае когда конец В этой кривой совпадает с ее началом А. В этом случае криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля 
по замкнутой кривой ℓ и обозначается символом 
:
. (5)
