Пусть вероятность появления признака у одной частицы мала 
и общее число частиц велико 
, тогда, если признак имеют в среднем 
частиц, то его вероятность для n частиц
. (1.32)
Результат получил Пуассон в 1837 г. на основе биномиального распределения.
Симеон Дени Пуассон (1781–1840)
Производящая функция. Используем (1.28) 
и производящую функцию биномиального распределения (1.27)
.
Учитываем 
и
,
где 
. Получаем производящую функцию для распределения Пуассона
. (1.33)
Выполняется нормировка (П1.16) 
, тогда
.
В (П.1.15)
подставляем (1.33), получаем
,
находим распределение Пуассона (1.32)
.
Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Из результатов для биномиального распределения (1.30) и (1.31)
,
при получаем
, (1.36)
. (1.37)
Для флуктуации 
выполняется закон больших чисел – флуктуация относительно среднего значения равна корню квадратному из среднего значения
. (1.38)
График распределения для 
показан на рис. (б).
а б
Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45
Сравнение графиков показывает погрешность, допускаемую распределением Пуассона (график б), вызванную не достаточно малым p и не достаточно большим N.
