Имеются N независимых частиц или N независимых попыток с положительным или отрицательным результатами. Если известна вероятность p положительного результата для одной частицы или попытки, то вероятность положительного результата для любых n частиц или попыток описывается биномиальным распределением
, (1.26)
где
; 
;
– биномиальный коэффициент;
; 
, 
,
,
, 
, 
.
Распределение обосновал Бернулли, результат опубликован в 1713 г.
Якоб Бернулли (1654–1705)
Для доказательства (1.26) рассмотрим идеальный газ из N тождественных частиц в объеме V, все точки которого равноправны. Получим вероятность обнаружения n любых частиц в объеме 
.
1. Вероятность найти определенную частицу в объеме D V согласно (1.5)
.
2. Вероятность найти определенную частицу вне объема D V
.
Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.
3. Вероятность найти n определенных частиц в объеме D V согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.6) равна 
. Вероятность найти (N – n) определенных частиц вне объема D V равна 
.
4. Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме D V и (N – n) других частиц вне этого объема
.
5. Взаимная перестановка тождественных частиц дает состояние, не отличимое от исходного. Число таких состояний есть число сочетаний n частиц из общего числа N и равно биномиальному коэффициенту 
.
6. Тогда вероятности найти n любых частиц в объеме D V и (N – n) любых других частиц вне D V равна (1.26).
Условие нормировки. Складываем вероятности всех возможных случайных результатов
,
где использована формула бинома Ньютона
.
Отсюда идет название распределения.
Исаак Ньютон (1642–1727)
Производящая функция биномиального распределения
. (1.27)
Для доказательства (1.27) подставляем биномиальное распределение (1.26)
в определение производящей функции (П.1.14)
. (1.27а)
Используем бином Ньютона
,
и получаем (1.27).
Выполняется условие нормировка (П.1.16) для биномиального распределения согласно
.
Среднее число частиц в объеме D V получаем подстановкой производящей функции (1.27)
в (П.1.17)
.
Находим
, (1.28)
где учтено . Результат очевиден, поскольку 
– средняя концентрация.
Из (1.28) выражаем вероятность некоторого признака у частицы
и подставляем в биномиальное распределение (1.26)
.
Получаем вероятность наличия некоторого признака у n частиц,если этот признак наблюдается в среднем у 
частиц из общего числа N
. (1.29)
В частности, отсутствия признака у всех частиц соответствует 
, вероятность этого
.
Наличия признака у всех частиц соответствует 
, и наблюдается с вероятностью
.
Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Подставляем производящую функцию (1.27)
в (П.1.18)
.
Находим среднее квадратичное
(1.30)
и дисперсию
. (1.31)
Дисперсия равна нулю при 
и 
, при 
достигается максимальное значение 
.
График распределения для 
, 
, 
показан на рис. 1.1, a.
а б
Рис. 1.1. Распределения биномиальное (а)
и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45
