Относительная флуктуация

 

. (1.10)

 

Если x случайным образом изменяется с течением времени, то относительная флуктуация показывает долю времени, в течение которой система находится в состоянии с .

 

Теорема: Относительная флуктуация аддитивной величины, характеризующей систему, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем и для макроскопической системы она мала. Примером аддитивной величины (от лат. additivus – «прибавляемый») является энергия. Флуктуация энергии для макросистемы ничтожно мала, для микросистемы она существенна.

Доказательство

Аддитивная величина X для системы равна сумме значений x_k для N независимых подсистем

.

 

По свойству 2 усреднения – среднее от суммы равно сумме средних

 

 

– пропорциональна числу подсистем.

Отклонение от среднего

,

дисперсия

.

 

При возведении в квадрат и усреднении результата для перекрестных произведений учтено свойство 3 усреднения – среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних

 

, ,

 

и использовано, что среднее отклонение от среднего равно нулю

 

.

 

Не равными нулю остаются квадраты величин. В результате флуктуация

 

.

Относительная флуктуация

(П.1.11)

 

уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем.

Производящая функция. Имеется случайная величина n, которая принимает дискретные значения в интервале . Вероятность получения результата n равна . Определяем производящую функцию

 

. (П.1.14)

 

Если известна производящая функция, то распределение вероятности получаем из (П.1.14)

 

, (П.1.15)

где использовано

 

Условие нормировки (1.6)

требует выполнения

. (П.1.16)

 

Для получения средних значений случайной величины дифференцируем (П.1.14)

,

и находим

. (П.1.17)

 

Двукратное дифференцирование (П.1.14)

 

дает

. (П.1.18)

 

Теорема о произведении производящих функций. Если происходят два независимых вида событий, которые описываются распределениями вероятностей с производящими функциями и , то распределение для суммы событий выражается произведением их производящих функций

. (П.1.19).

 

ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНой

НЕПРЕРЫВНой ВЕЛИЧИНы

 

Случайной непрерывной величиной является, например, проекция скорости молекулы газа, хаотически меняющаяся благодаря столкновениям.

Плотность вероятности. Пусть случайная величина x принимает непрерывные значения в некотором интервале. Вероятность обнаружения x в единичном интервалеоколо выбранного значения называется плотностью вероятности результата

 

. (1.11)

 

Аналогично определение скорости , которая является перемещением за единицу времени.

Вероятность получения результата в интервале равна

 

.

 

Пример: Пусть – скорость частицы идеального газа. Частицы движутся хаотически и при столкновениях меняют свои скорости. Вероятность обнаружения частицы со скоростью в интервале равна

 

,

где

– концентрация частиц со скоростями в интервале шириной ;

n – концентрация частиц со всеми скоростями;

плотность вероятности

 

– вероятность обнаружения частицы со скоростью в единичном интервале около значения v.

Условие нормировки для непрерывного распределения

 

. (1.12)