Основные свойства двойного интеграла

1.

2.

3.

4. Если f(x;y)≥0, . Если f(x;y)≥ φ(x;y),

5. т. к.

6. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то , где m и M — соотв. наиб. и наим. значения подынтегральной ф-ции в D.

7. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то в этой обл-ти Ǝ такая т. (x₀;y₀), что . Величина f(x₀;y₀) = … — среднее значение ф-ции f(x;y) в обл-ти D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть требуется вычислить , где f(x;y)≥0, непрер. в D. Двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху z = f(x;y). Т. к. , S(x) — площадь сечения пл-тью, ﬩ оси Ox, a и b — ур-я пл-тей, огранич. данное тело. D — криволинейная трапеция, правильная относит. Oy, . Согласно методу параллельных сечений . Также объем цил. тела — двойной интеграл от f(x;y)≥0.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

x = r cos φ, y = r sin φ, dxdy = rdrdφ.

Внутренний интеграл берется при постоянном φ.