Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)

ОБЪЕМ ТЕЛА:

ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ:

МАССА ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ: . γ = γ(x;y) — плотность

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ: и

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛ. ФИГУРЫ: и

МАССА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ: γ = γ(x;y) — поверхностная плотность — непрер. ф-ция координат т. (x;y). Разобьем пластинку D на n D_i, обозначим их площади через ∆S_i, возьмем M_i(x_i;y_i) и найдем плотность в ней. Плотность в каждой т. D_i const, найдем m_i ≈ γ(x;y)∆S_i. Т. к. m = ∑ m_i, m ≈ ∑ γ(x;y)∆S_i. n→∞ и max d_i→0.

Приложение кри-1 рода

Длина кривой:

Площадь цилиндрической поверхности:

Масса кривой:

Статические моменты:

Условия независимости КРИ-2 от пути интегрирования. Потенциал

Для того чтобы криволинейныйинт. не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие: