Парабола

Означення. Параболою називається множина точок площини, які рівновіддалені від заданої точки, що називається фокусом і заданої прямої, що називається директрисою.

Для отримання канонічного рівняння параболи розмістимо директрису перпендикулярно осі , а фокус на осі так, щоб початок координат містився на однаковій відстані від них (див. рис. 28). Позначимо через відстань від фокуса до директриси, тоді фокус має координати , . Для довільної точки параболи відстань , а відстань до директриси . За означенням . З рис. 28 бачимо, що , а , тому

Рис. 28.

– канонічне рівняння параболи.

Парабола проходить через точку , яка називається її вершиною. Якщо точка належить параболі, то і теж належить параболі, тому що із

Отже, парабола симетрична відносно осі , її графік достатньо побудувати в першій чверті, де із (42) випливає, що

При ця функція визначена для . При зростанні змінна теж зростає. Графік зображено на рис. 29.

Рис. 29,а.

Рівняння директриси параболи .

Парабола має “оптичну” властивість: якщо у фокусі параболи помістити джерело світла, то відбиті від параболи промені будуть паралельними осі . Цю властивість враховують при виготовленні прожекторів, дзеркальних телескопів, теле- і радіоантен.

При додатному р рівняння

описує параболу симетричну відносно ОХ з вершиною в точці , вітки якої напрямлені вліво (див. рис. 29,б)

Аналогічно викладеному, рівняння і описують параболи з вершиною в точці симетричні відносно ОУ, вітки яких напрямлені відповідно вверх і вниз (див. рис. 29, в і г). Якщо, наприклад, рівняння розв’язати відносно у

і позначити , то отримаємо відоме із шкільного курсу рівняння параболи . Тепер її фокусна відстань .

Задача 1. Знайти координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи .

Розв’язання. Порівнюючи канонічне рівняння і дане , отримуємо , тоді . Оскільки рівняння директриси , то в даному випадку .

Задача 2. Скласти канонічне рівняння параболи а) з фокусом в точці ; б) з фокусом в точці .

Розв’язання. а) Оскільки фокус на додатній півосі ОХ, то парабола симетрична відносно ОХ з вершиною в точці і , тому і згідно формули (42)

.

б) Фокус лежить на від’ємній півосі ОУ з вершиною в точці , вітки напрямлені вниз, канонічне рівняння слід шукати у вигляді . Фокусна відстань параболи , і рівняння запишеться

.

Задача 3. Показати шляхом виділення повного квадрата, що рівняння

є рівнянням параболи. Звести його до канонічного вигляду. Знайти вершину, фокус, вісь і директрису цієї параболи.

Розв’язання. Виділимо відносно змінної х повний квадрат

.

Позначимо , . Тоді внаслідок паралельного перенесення координатних осей в новий початок, тобто в точку , отримаємо канонічне рівняння параболи

.

Вітки цієї параболи напрямлені вниз симетрично відносно осі , - фокусна відстань. В новій системі координат фокус знаходиться в точці , рівняння директриси в новій системі .

Повернемося до старих координат за допомогою заміни , . Рівняння осі в новій системі , а в старій - рівняння осі параболи.

Рівняння директриси в новій системі координат , а в старій .

В новій системі для фокуса а в старій системі ; , тобто .