Задачі для самостійного виконання

1. За рівняннями а) , б) , в) знайти центри та радіуси кіл.

2. Скласти рівняння кола з центром у точці С і радіусом R: 1) С(-6,-3), R=5; 2) C(1,-2), ; 3) C(2,0), R=3; 4) C(0,-1), R=1,5.

3. Для поданих рівнянь кіл знайти координати їх центрів і радіуси: 1) ;

2) ; 3) .

4. Скласти рівняння кола, якщо кінці його діаметра містяться у точках А(-3,-1) і В(1,5).

5. Скласти рівняння кола з центром в точці О(0,0), яке дотикається прямої .

6. Записати рівняння кола з радіусом рівним 13, яке проходить через точки А(3,-1), і В(-4,-8).

7. Трикутник заданий вершинами L(-3,6), M(-1,10), N(6,9). Записати рівняння описаного навколо DLMN кола.

8. Написати рівняння дотичної до кола в точці М(5,3).

9. Коло задане рівнянням . Скласти рівняння дотичної до кола в точці М(0,1).

10. Знайти відстань між центрами кіл і .

Відповіді: 1. а) С(-4,2), R=6; б) С(0,-3), ; в) С(4,-2), . 2. 1) ; 2) ; 3) ;

4) .

3. 1) ; 2) ; 3) . 4. .

5. .

6. або .

7. . 8. .

9. . 10. 10.

 

Еліпс

Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала і дорівнює .

Позначимо фокуси і . Припустимо, що відстань = – фокусна відстань. Щоб отримати канонічне рівняння еліпса розмістимо і на осі , симетрично щодо початку координат. Тоді фокуси матимуть координати і (див. рис. 24).

Нехай M ( x, y ) – довільна точка еліпса. Позначимо через r ₂ і r ₁ – відстані від точки M до фокусів. Згідно з означенням еліпса.

. (38)

 

Рис. 24.

 

Підставимо в (38) , і звільнимось від ірраціональності, піднісши обидві частини до квадрата, отримаємо:

(підносимо до квадрата обидві частини)

Позначимо: , отримаємо канонічне рівняння еліпса:

 

Відмітимо, що за відомою властивістю трикутника (сума двох сторін більша третьої) із маємо

Оскільки , то , а тому

(*)

 

Для побудови еліпса зауважимо, що якщо точка належить еліпсу, тобто задовольняє рівняння (39), то точки теж задовольняють це рівняння: із

Точки – розміщені симетрично відносно осей координат. Отже, еліпс – фігура симетрична відносно координатних осей. Тому досить побудувати графік в першій чверті, а тоді симетрично продовжити його.

З (39) знаходимо , для І -ої чверті .

Якщо , то . Якщо ж , то . Точки і , а також симетричні з ними – вершини еліпса, точка – центр еліпса, – велика вісь, – мала вісь еліпса. Якщо І чверті, то із випливає, що при зростанні від до значення спадає від до . Зображення еліпса на рис. 25.

Величина відношення міжфокусної відстані до великої осі називається ексцентриситетом еліпса і, після скорочення на 2, позначається . Значення ексцентриситета характеризує ступінь “сплющенності” еліпса. Якщо , то – маємо коло. Якщо ж , то – еліпс вироджується у відрізок. В невироджених випадках Для фокальних радіусів наведемо без доведення такі формули:

(**)

Рис. 25.

 

Еліпс можна побудувати механічним способом. Із канонічного рівняння знаходимо півосі і , тоді обчислюємо – півфокусну відстань. Будуємо фокуси і на відстані один від одного . Кінці нерозтяжної нитки довжиною закріпляємо в точках і . Натягуючи вістрям олівця нитку, водимо вістрям по площині таким чином, щоб нитка ковзала по вістрю. Олівець при цьому опише півеліпс. Відтягуючи нитку в протилежну сторону, накреслимо другу половину еліпса.

Задача 1. Задано еліпс рівнянням і точки М₀(4;1,8), М₁(3;2,4). Необхідно:

1) переконатись, що точки М₀ і М₁ лежать на еліпсі;

2) знайти півосі еліпса та координати його фокусів;

3) побудувати еліпс і точки М₀ і М₁;

4) знайти відстань від точки М₀ до фокусів;

5) упевнитись, що сума цих відстаней дорівнює довжині великої осі;

6) знайти ексцентриситет еліпса.

Розв’язання. 1) Підставимо координати x=4; y=1,8 точки М₀ в ліву частину рівняння еліпса:

– точка М₀ лежить на еліпсі. Аналогічно для М₁(3;2,4):

– точка М₁ лежить на еліпсі.

2) З канонічного і даного рівняння еліпса випливає З рівності (*) цього параграфа – півфокусна відстань. Координати фокусів F₁(4;0) і F₂(-4;0).

3)

Відкладемо значення півосі симетрично відносно точки О(0,0) на осі ОХ. Аналогічно b=3 відкладемо на осі ОУ.

4) Знайдемо фокальні радіуси точки М₀

5) Знайдемо суму , що відповідає означенню еліпса.

6) Ексцентриситет знаходиться за формулою

Задача 2. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса . Побудувати еліпс.

Розв’язання. Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду (див. рівняння (39)), перенесемо вільний член вправо і почленно розділимо на нього всю рівність

Порівнюючи останнє рівняння з рівнянням (39), маємо Звідси знаходимо осі еліпса 2а=24, 2b=10 і координати вершин А₁(12,0), А₂(-12,0), В₁(0,5), В₂(0,-5). Далі із формули . Отже, фокусами еліпса є точки F₁(,0) і F₂(,0). Для побудови еліпса відкладаємо на осях ОХ і ОУ вершини А₁, В₁, А₂, В₂ відповідно і з’єднуємо їх плавною лінією (див. попередню задачу).

Зауваження. Якщо у канонічному рівнянні більшою піввіссю буде b>a, то фокуси еліпса будуть розміщені на осі ОУ і тоді .

 

 

Задача 3. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса .

Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного , Вершини еліпса в точках А₁(5,0), В₁(0,13), А₂(-5,0) і В₂(0,-13). Будуємо вершини на координатних осях і з’єднаємо плавною лінією (див рис.). Оскільки в даному випадку b=13 більше ніж , то еліпс витягнутий вдовж осі OY і фокуси теж будуть на осі OY, знаходимо півфокусну відстань Фокуси в точках і (див. рис. 25-2)

 

Задача 4. Довести, що рівняння

описує еліпс. Знайти координати центра, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет. Побудувати еліпс.

Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного вигляду. Спочатку згрупуємо по кожній із змінних і виділимо повний квадрат

Позначимо Зроблену заміну змінних будемо розглядати як перетворення прямокутних координат x і y із системи XOY в нові координати і системи шляхом паралельного перенесення координатних осей, де новий початок знаходиться в точці . В новій системі координат рівняння еліпса приймає канонічний вигляд

З канонічного рівняння , , , , , . Побудуємо в системі XOY точку - новий початок координат, проведемо через нові осі і . В системі будуємо еліпс за отриманим канонічним рівнянням, тобто по відкладаємо вліво і вправо відносно півосі , а по - аналогічні півосі (див рисунок).