1. За рівняннями а) 
, б) 
, в) 
знайти центри та радіуси кіл.
2. Скласти рівняння кола з центром у точці С і радіусом R: 1) С(-6,-3), R=5; 2) C(1,-2), 
; 3) C(2,0), R=3; 4) C(0,-1), R=1,5.
3. Для поданих рівнянь кіл знайти координати їх центрів і радіуси: 1) 
;
2) 
; 3) 
.
4. Скласти рівняння кола, якщо кінці його діаметра містяться у точках А(-3,-1) і В(1,5).
5. Скласти рівняння кола з центром в точці О(0,0), яке дотикається прямої 
.
6. Записати рівняння кола з радіусом рівним 13, яке проходить через точки А(3,-1), і В(-4,-8).
7. Трикутник заданий вершинами L(-3,6), M(-1,10), N(6,9). Записати рівняння описаного навколо DLMN кола.
8. Написати рівняння дотичної до кола 
в точці М(5,3).
9. Коло задане рівнянням 
. Скласти рівняння дотичної до кола в точці М(0,1).
10. Знайти відстань між центрами кіл 
і 
.
Відповіді: 1. а) С(-4,2), R=6; б) С(0,-3), 
; в) С(4,-2), 
. 2. 1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
.
3. 1) 
; 2) 
; 3) 
. 4. 
.
5. 
.
6. 
або 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 10.
Еліпс
Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала і дорівнює 
.
Позначимо фокуси 
і 
. Припустимо, що відстань = 
– фокусна відстань. Щоб отримати канонічне рівняння еліпса розмістимо і на осі 
, симетрично щодо початку координат. Тоді фокуси матимуть координати 
і 
(див. рис. 24).
Нехай M ( x, y ) – довільна точка еліпса. Позначимо через r 2 і r 1 – відстані від точки M до фокусів. Згідно з означенням еліпса.
. (38)
Рис. 24.
Підставимо в (38) 
, 
і звільнимось від ірраціональності, піднісши обидві частини до квадрата, отримаємо:
(підносимо до квадрата обидві частини) 
Позначимо: 
, отримаємо канонічне рівняння еліпса:
Відмітимо, що за відомою властивістю трикутника (сума двох сторін більша третьої) із 
маємо 
Оскільки , то 
, а тому
(*)
Для побудови еліпса зауважимо, що якщо точка 
належить еліпсу, тобто задовольняє рівняння (39), то точки 
теж задовольняють це рівняння: із
Точки 
– розміщені симетрично відносно осей координат. Отже, еліпс – фігура симетрична відносно координатних осей. Тому досить побудувати графік в першій чверті, а тоді симетрично продовжити його.
З (39) знаходимо 
, для І -ої чверті 
.
Якщо 
, то 
. Якщо ж 
, то 
. Точки 
і 
, а також симетричні з ними 
– вершини еліпса, точка 
– центр еліпса, 
– велика вісь, 
– мала вісь еліпса. Якщо 
І чверті, то із випливає, що при зростанні 
від 
до 
значення 
спадає від 
до . Зображення еліпса на рис. 25.
Величина відношення міжфокусної відстані до великої осі називається ексцентриситетом еліпса і, після скорочення на 2, позначається 
. Значення ексцентриситета характеризує ступінь “сплющенності” еліпса. Якщо 
, то 
– маємо коло. Якщо ж 
, то 
– еліпс вироджується у відрізок. В невироджених випадках 
Для фокальних радіусів наведемо без доведення такі формули:
(**)
Рис. 25.
Еліпс можна побудувати механічним способом. Із канонічного рівняння знаходимо півосі і , тоді обчислюємо 
– півфокусну відстань. Будуємо фокуси і на відстані один від одного . Кінці нерозтяжної нитки довжиною 
закріпляємо в точках і . Натягуючи вістрям олівця нитку, водимо вістрям по площині таким чином, щоб нитка ковзала по вістрю. Олівець при цьому опише півеліпс. Відтягуючи нитку в протилежну сторону, накреслимо другу половину еліпса.
Задача 1. Задано еліпс рівнянням 
і точки М0(4;1,8), М1(3;2,4). Необхідно:
1) переконатись, що точки М0 і М1 лежать на еліпсі;
2) знайти півосі еліпса та координати його фокусів;
3) побудувати еліпс і точки М0 і М1;
4) знайти відстань від точки М0 до фокусів;
5) упевнитись, що сума цих відстаней дорівнює довжині великої осі;
6) знайти ексцентриситет еліпса.
Розв’язання. 1) Підставимо координати x=4; y=1,8 точки М0 в ліву частину рівняння еліпса:
– точка М0 лежить на еліпсі. Аналогічно для М1(3;2,4):
– точка М1 лежить на еліпсі.
2) З канонічного 
і даного рівняння 
еліпса випливає 
З рівності (*) цього параграфа 
– півфокусна відстань. Координати фокусів F1(4;0) і F2(-4;0).
3)
Відкладемо значення півосі 
симетрично відносно точки О(0,0) на осі ОХ. Аналогічно b=3 відкладемо на осі ОУ.
4) Знайдемо фокальні радіуси точки М0 
5) Знайдемо суму 
, що відповідає означенню еліпса.
6) Ексцентриситет знаходиться за формулою 
Задача 2. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса 
. Побудувати еліпс.
Розв’язання. Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду (див. рівняння (39)), перенесемо вільний член вправо і почленно розділимо на нього всю рівність
Порівнюючи останнє рівняння з рівнянням (39), маємо 
Звідси знаходимо осі еліпса 2а=24, 2b=10 і координати вершин А1(12,0), А2(-12,0), В1(0,5), В2(0,-5). Далі із формули 
. Отже, фокусами еліпса є точки F1(
,0) і F2(
,0). Для побудови еліпса відкладаємо на осях ОХ і ОУ вершини А1, В1, А2, В2 відповідно і з’єднуємо їх плавною лінією (див. попередню задачу).
Зауваження. Якщо у канонічному рівнянні більшою піввіссю буде b>a, то фокуси еліпса будуть розміщені на осі ОУ і тоді 
.
Задача 3. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса 
.
Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного 
, 
Вершини еліпса в точках А1(5,0), В1(0,13), А2(-5,0) і В2(0,-13). Будуємо вершини на координатних осях і з’єднаємо плавною лінією (див рис.). Оскільки в даному випадку b=13 більше ніж , то еліпс витягнутий вдовж осі OY і фокуси теж будуть на осі OY, знаходимо півфокусну відстань 
Фокуси в точках 
і 
(див. рис. 25-2)
Задача 4. Довести, що рівняння
описує еліпс. Знайти координати центра, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет. Побудувати еліпс.
Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного вигляду. Спочатку згрупуємо по кожній із змінних і виділимо повний квадрат
Позначимо 
Зроблену заміну змінних будемо розглядати як перетворення прямокутних координат x і y із системи XOY в нові координати 
і 
системи 
шляхом паралельного перенесення координатних осей, де новий початок знаходиться в точці 
. В новій системі координат рівняння еліпса приймає канонічний вигляд
З канонічного рівняння 
, 
, 
, 
, 
, 
. Побудуємо в системі XOY точку - новий початок координат, проведемо через 
нові осі 
і 
. В системі будуємо еліпс за отриманим канонічним рівнянням, тобто по 
відкладаємо вліво і вправо відносно півосі , а по 
- аналогічні півосі (див рисунок).
