Полярна система координат

При геодезичних вимірюваннях на місцевості в основному використовуються полярні координати. В аналітичній геометрії цілий ряд ліній краще досліджувати і будувати в полярній системі координат.

Полярна система координат на площині вводиться за допомогою полярної осі (початок координат називається полюсом) та кута повороту цієї осі (додатним вважається напрям проти стрілки годинника) (рис. 36)

 

Рис. 36. Рис. 37.

 

Координати точки в такій системі мають вигляд . Якщо необмежувати значень і , то точки збігаються, тобто між множиною точок площини і множиною пар чисел немає взаємно однозначної відповідності. Для того щоб така відповідність існувала, треба розглядати так звані головні значення полярних координат, тобто Надалі розглядаються тільки такі значення.

Зв’язок між полярними та прямокутними координатами легко зрозуміти з рис. 37, а саме,

(45)

і навпаки, полярні координати виражаються через прямокутні

Щоб знайти в (46) враховуємо збіг знаків і , а також і .

Наводимо графіки деяких ліній в полярних координатах.

Промінь. Нехай промінь виходить з полюса під кутом до полярної осі. Тоді рівняння променя (див. рис. 38).

Рис. 38.

 

Коло. Радіуса , центр якого в полюсі, має рівняння

.

 

Спіраль Архімеда має вигляд де – задане дійсне число.

Рис. 39.

 

Кардіоїда описується рівнянням де задане

 

Рис. 40.

 

Розами називаються лінії, які задаються рівняннями

або ,

де і – додатні числа.

Оскільки , , то із рівнянь випливає, що а це означає, що вся лінія розміщена усередині круга радіуса . Функція () – періодична, і її графік складається з однакових пелюсток, кожна з яких симетрична відносно найбільшого значення полярного радіуса . Кількість пелюсток залежить від числа k:

при k -цілому і непарному роза складається із k пелюсток;

при k -цілому і парному роза складається із 2k пелюсток (див. рис. 40,1).

 

Задача. Побудувати в полярних координатах графік функції , записавши таблицю значень у градусах з кроком в . Перейти у рівнянні до декартових координат.

Розв’язання. Заповнимо таблицю значень аргумента і функції

		0,3420	0,6428	0,8660	0,9848	0,9848	0,8660	0,6428	0,3420
		1,71	3,21	4,33	4,92	4,92	4,33	3,21	1,71

За даними таблиці будуємо точки в полярній системі координат і з’єднуємо їх плавною лінією.

Перейдемо у рівнянні від полярних координат до декартових за допомогою формули переходу (45) і (46)

, - це коло.

Щоб знайти центр і радіус кола, виділимо повний квадрат:

.

Центр кола в точці радіус (див. рис.)

 

 

 

Для побудови графіка провели промені під відповідними кутами: На кожному з променів відкладається відповідне значення , взяте із таблиці: