Радиусы инерции. Эллипс инерции.

Рассмотрим плоское сечение бруса произвольной формы относительно произвольной системы координат y0z. Момент инерции этого сечения относительно оси y будет определяться интегралом:

Обозначим среднее значение интеграла через и используем теорему о среднем значении интеграла. В результате получим:

, откуда , или

(8.31)

аналогично (8.32)

Величины i _y и i _z являются радиусами инерции сечения относительно соответствующих осей координат. Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей являются главными радиусами инерции. Они имеют экстремальные значения и .

и (8.33)

Радиус инерции является удобной геометрической характеристикой плоского сечения. С его помощью можно геометрически исследовать изменение моментов инерции в зависимости от положения осей, то есть от их поворота. Для этого нужно определить и и построить эллипс инерции на главных осях. Положим, что ось максимальной инерции u расположена горизонтально, а ось минимальной инерции сечения – вертикально.

Отложим от центра сечения в двух направлениях отрезок перпендикулярно оси максимальной инерции u. Получим большую ось эллипса. Потом отложим отрезок перпендикулярно оси минимальной инерции v в двух направлениях и получим малую ось эллипса.

Построим эллипс, пользуясь правилами начертательной геометрии (рис. 8.10) и покажем, как при его использовании определяется момент инерции относительно произвольной оси y, проведенной под углом α оси u. Проведем касательную к эллипсу параллельно осе y. Она пройдет через точку Д эллипса. Опустим из центра О перпендикуляр ОС к этой касательной. Отрезок ОС есть радиус инерции в масштабе чертежа, тогда _. Аналогично определяются моменты инерции сечения относительно произвольной оси.

Рис. 8.10

Моменты сопротивления.

Моментом сопротивления поперечного сечения относительно какой-нибудь оси зовется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию наиболее отдаленной точки сечения от этой оси. Обозначим момент сопротивления относительно оси y через W _y, а расстояние наиболее отдаленной точки сечения от этой оси через z _max, тогда будем иметь:

(8.34)

Пользуясь этим правилом, определим моменты сопротивления прямоугольного (рис.8.5), треугольного (рис.8.6), и круглого (рис.8.7) поперечных сечений относительно главных центральных осей y и z.

Для прямоугольного сечения имеем:

, , , , тогда:

, (8.35)

Для треугольного сечения:

, , , , тогда:

, (8.36)

Для круглого сечения:

, , тогда:

(8.37)

Момент сопротивления является важной геометрической характеристикой плоских сечений и используется при расчетах на прочность элементов инженерных сооружений и машин, которые подвержены изгибу. Единицами измерения момента сопротивления являются см³ или м³.

Для поперечного сечения круглой формы определяется полярный момент сопротивления, который равняется отношению полярного момента инерции к радиусу сечения. Учитывая, что

, а , получим:

(8.38)

Пример 8.2: Для поперечного сечения, состоящего из двутавра №16 и прямоугольника со сторонами 1 см и 24 см (рис.8.11), требуется:

1) определить осевые моменты и центробежный момент инерции относительно центральных осей и ;

2) определить положение главных осей инерции и величины главных осевых моментов инерции;

3) определить главные радиусы инерции и главные моменты сопротивления

Последовательность решения задачи: Учитывая, что положение центра тяжести заданного сечения было уже найдено (смотри пример 8.1), решение задачи осуществляем в такой последовательности:

1) Выписываем геометрические характеристики двутавра №16 (из таблицы ГОСТ 8240-89) и определяем геометрические характеристики прямоугольника с размерами сторон 1х24:

А₁= 20,2 см2; см4; см4;

Рис.8.11

А₂=1·24=24см²; см4;

см4;

2) Определяем расстояния между центральными осями всего сечения и параллельными к ним собственными осями каждой части этого сечения:

см;

см.

3) Определяем осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей и :

см⁴;

см⁴.

4) Определяем положение главных центральных осей инерции сечения:

;

Таким образом, чтобы получить положение главных осей инерции сечения нужно центральные оси повернуть на угол 40,45⁰ против часовой стрелки.

Ось максимальной инерции получаем при повороте центральной оси, относительно которой момент инерции имеет больше значения. В данном случае , поэтому ось u будет осью максимальной инерции, а перпендикулярная к ней ось v будет осью минимальной инерции.

5) Определяем главные моменты инерции заданного сечения по формулам (8.30):

;

Откуда:

см⁴;

см⁴

Проверим эти величины. Существует две проверки:

1. сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных центральных осей остается постоянной величиной при повороте осей, т.е.

;

, это равенство выполняется.

2.Максимальный и минимальный моменты инерции определяем соответственно по формулам (8.26) и (8.25):

, где

, , , и

,тогда:

см⁴

Эти величины полностью совпадают с величинами, определенными по формуле (8.30).

6) Определяем главные радиусы инерции, используя формулы (8.33):

см;

см.

7) Определяем главные моменты сопротивления. Для этого необходимо определить расстояния от главных осей инерции до наиболее отдаленных точек сечения. Рассматривая чертеж сечения, легко заметить, что его точка С больше всего удалена от оси u, а точка D больше всего удалена от оси v. Найдем эти расстояния по формулам (8.24)

см, см,

тогда: см,

см

Определяем моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v:

см³;

см³

Рис.8.12 Рис.8.13

2.8 Задание для самостоятельной работы: 1) Для поперечного сечения балки, составленного из двух прокатных швеллеров № 24, соединенных полками согласно рисунку 8.12, нужно определить геометрические характеристики. 2) Определить геометрические характеристики поперечного сечения, форма и размеры которого (в сантиметрах) показаны на рис.8.13.