Оценка статистической надежности в парных нелинейных моделях

Как и в парной линейной регрессии, в регрессии нелинейной оценку надежности уравнения в целом проводят с помощью критерия Фишера (F-критерия), а оценку параметров уравнения и коэффициента детерминации проводят с помощью критерия Стьюдента.

Общая формула фактического F-критерия имеет вид;

                                                                                                 (9.85)

где:

 - индекс детерминации.

 - число наблюдений.

 - число параметров при переменных .

В случае нелинейной регрессии  отлично для разных видов регрессии, и формула F-критерия различна для различных функций.

Например. Для степенной  и показательной  и:

                                                                                                     (9.86)

Для параболы второго порядка  и:

                                                                                                       (9.87)

Для параболы третьего порядка  и:

                                                                                                       (9.88)

Как и в случае линейной регрессии, критерий Фишера фактический сравнивают с критерием Фишера табличным, при определенном уровне значимости  или , и числе степеней свободы - ,  (таблицы Снедекора-Фишера – приложение 2).

Значимость параметров уравнения парной нелинейной регрессии и индекса корреляции проверяется, аналогично парной линейной регрессии, используя критерий Стьюдента.

Критерий Стьюдента для коэффициента регрессии  рассчитывается как;

                                                                                                                       (9.89)

где; - коэффициент регрессии.

 - стандартная ошибка коэффициента регрессии, рассчитывается как:

                                                                                         (9.90)

Учитывая, что

                                                                                                        (9.91)

Критерий Стьюдента для параметра  рассчитывается как;

                                                                                                                         (9.92)

где: - свободный член уравнения регрессии.

 - стандартная ошибка параметра , рассчитывается как:

                                                                           (9.93)

или                                                                                      (9.94)

Критерий Стьюдента для индекса корреляции  рассчитывается как;

                                                                                                                        (9.95)

или                                                                                       (9.96)

где:  - индекс корреляции.

- стандартная ошибка индекса корреляции, рассчитывается как:

                                                                                                              (9.97)

Качество подбора модели  определяют, рассчитывая среднюю ошибку аппроксимации. Для расчета средней ошибки аппроксимации используют формулы:

                                                                                          (9.98)

                                                                                                                     (9.99)

где                                                                                                (9.100)

                                                                                           (9.101)

Чем меньше средняя ошибка аппроксимации, тем выше качество модели. Допустимый предел  не более 10%.

Пример 9.18. Необходимо оценить существенность уравнения регрессии равносторонней гиперболы , при:

где:  - индекс детерминации.

 - число наблюдений.

 

Решение. Оценку существенности уравнения нелинейной регрессии проведем, используя критерий Фишера (F-критерий)

.

 - число параметров при переменных .

Найдем критерий Фишера табличный, при уровне значимости , и числе степеней свободы - ,  (таблицы Снедекора-Фишера – приложение 2) - .

Так как  уравнение регрессии признаем статистически значимым.

Пример 9.19. По данным примеров 9.7; 9.11; 9.12; 9.13; 9.14 рассчитаем средние ошибки аппроксимации для линейной функции, функции параболы второй степени, равносторонней гиперболы, степенной и показательной функций.

Решение. Для расчета средней ошибки аппроксимации используем формулу:

, где

Расчет произведем в таблице 9.33. Средние ошибки аппроксимации составили для:

· линейной функции

· параболы второго порядка

· функции равносторонней гиперболы

· степенной функции

· показательной функции

Соответственно линейная функция наиболее качественно описывает существующую взаимосвязь между исследуемыми явлениями. Но все регрессии находятся в допустимых пределах (  не более 10%).

 

Таблица 9.33

№		Линейная			Парабола второго порядка			Гипербола
1	37,8	37,792344	0,007656	0,020254	38,023560	0,223560	0,591429	36,808395	0,991605	2,623294
2	38,0	38,028410	0,028410	0,074763	38,158005	0,158005	0,415803	38,266516	0,266516	0,701358
3	39,0	38,264476	0,735524	1,885959	38,307508	0,692492	1,775621	38,891425	0,108575	0,278397
4	37,5	38,382510	0,882510	2,353360	38,387907	0,887907	2,367752	39,086709	1,586709	4,231224
5	39,5	38,500543	0,999457	2,530271	38,472071	1,027929	2,602352	39,238597	0,261403	0,661780
6	36,8	38,736609	1,936609	5,262524	38,651694	1,851694	5,031777	39,459524	2,659524	7,226967
7	40,0	38,972676	1,027324	2,568310	38,846375	1,153625	2,884063	39,612474	0,387526	0,968815
8	40,1	39,326775	0,773225	1,928242	39,166634	0,933366	2,327596	39,770204	0,329796	0,822434
9	40,0	39,444808	0,555192	1,387980	39,280917	0,719083	1,797708	39,810409	0,189591	0,473978
10	39,0	40,034974	1,034974	2,653779	39,908803	0,908803	2,330264	39,956611	0,956611	2,452849
11	38,0	40,389074	2,389074	6,287037	40,330713	2,330713	6,133455	40,016262	2,016262	5,305953
12	41,0	40,507107	0,492893	1,202178	40,478879	0,521121	1,271027	40,033086	0,966914	2,358327
13	41,6	40,625140	0,974860	2,343413	40,630810	0,969190	2,329784	40,048664	1,551336	3,729173
14	41,0	40,979240	0,020760	0,050634	41,109192	0,109192	0,266322	40,089168	0,910832	2,221541
15	41,9	41,215306	0,684694	1,634115	41,446938	0,453062	1,081294	40,111951	1,788049	4,267420
Итого	591,2			32,182820			33,206244			38,323509
В среднем				2,145521			2,213750			2,554901

 

 

Продолжение табл. 9.33

№		Степенная			Показательная
1	37,8	37,183851	0,616149	1,630024	37,806262	0,006262	0,016566
2	38,0	37,910774	0,089226	0,234805	38,032035	0,032035	0,084303
3	39,0	38,397333	0,602667	1,545300	38,259157	0,740843	1,899597
4	37,5	38,592153	1,092153	2,912408	38,373226	0,873226	2,328603
5	39,5	38,764817	0,735183	1,861223	38,487635	1,012365	2,562949
6	36,8	39,060772	2,260772	6,143402	38,717477	1,917477	5,210535
7	40,0	39,308870	0,691130	1,727825	38,948692	1,051308	2,628270
8	40,1	39,619441	0,480559	1,198401	39,298106	0,801894	1,999736
9	40,0	39,710581	0,289419	0,723548	39,415272	0,584728	1,461820
10	39,0	40,100534	1,100534	2,821882	40,006365	1,006365	2,580423
11	38,0	40,295293	2,295293	6,040245	40,365268	2,365268	6,224389
12	41,0	40,355237	0,644763	1,572593	40,485616	0,514384	1,254595
13	41,6	40,413002	1,186998	2,853361	40,606323	0,993677	2,388647
14	41,0	40,574705	0,425295	1,037305	40,970608	0,029392	0,071688
15	41,9	40,674075	1,225925	2,925835	41,215278	0,684722	1,634181
Итого	591,2			35,228156	590,987320		32,346303
В среднем				2,348544			2,156420