Методика оценивания результата измерений и его неопределенности

Оценивание результата измерений и его неопределенности проводится в следующей последовательности:

-составление уравнения измерений;

-оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей);

-оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности;

- составление бюджета неопределенности;

-оценка расширенной неопределенности результата измерений;

-представление результата измерений.

Рассмотрим эти составляющие подробнее.

I. Составление уравнения измерения

В качестве основы для составления уравнения измерения используется классическое уравнение связи: зависимость Y = f (X ₁, X ₂,… X_k). Далее в результате анализа условий измерений и используемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на результат измерений, и они также включаются в уравнение связи в качествевеличин X_{k +1}, X_{k +2},… X_m.

В итоге в рамках концепции неопределенности под уравнением измерения будет пониматься математическая зависимость между измеряемыми величинами X ₁, X ₂,… X_k, а также другими величинами, влияющими на результат измерения X_{k +1}, X_{k +2},… X_m, и самим результатом измерения Y

           (П2.1)

Величины X ₁, X ₂,… X_m можно считать входными величинами, используемые для оценивания неопределенности результата измерения, а результат измерения Y – выходной величиной измерения.

II. Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей)

Пусть имеются результаты n _i измерений входной величины X _i, где i = 1…m. Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое

                                                  (П2.2)

Стандартную неопределенность типа А определяют как среднеквадратическое отклонение по формуле:

    (П2.3)

Для вычисления стандартной неопределенности по типу В используют:

-данные о предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения;

- сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверки, калибровки и сведения изготовителя о приборе;

- сведения о предполагаемом вероятностном распределении значений величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литературных источниках;

- данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов;

- неопределенность используемых констант и справочных данных;

- нормы точности измерений, указанные в технической документации на методы и СИ;

- другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах ± b _i для i -ой входной величины. При этом стандартную неопределенность по типу В определяют по следующей формуле

                           (П2.4)

В случае других законов распределений формулы для вычисления неопределенности по типу В будут другие. В частности, если известно одно значение величины X_i, то это значение принимается в качестве оценки. При этом стандартную неопределенность вычисляют по формуле

                          (П2.5)

где U_p – расширенная неопределенность, k – коэффициент охвата. Если коэффициент охвата не указан, то, с учетом имеющихся сведений, принимают предположение о вероятностном распределении неопределенности величины X _i. Если такие сведения отсутствуют, то для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными таблицы П2.2 [П2.1].

Таблица П2.2

Предполагаемое распределение неопределенности входной величины	Вероятность охвата Р, которой соответствует U (x i)	Коэффициент охвата k
Равномерное распределение	0,99 – 1,0	1,71 - 1,73
	0,95	1,65
Нормальное распределение	1,0 (предел допускаемых значений)	3
	0,997	3
	0,99	2,6
	0,95	2
Неизвестное распределение		2

Коэффициенты охвата для равномерного распределения, представленные в табл.П2.2, определены следующим образом. Для симметричных границ окончательного равномерного распределения СКО вычисляется по формуле (П2.4). Тогда расширенную неопределенность можно записать в виде . При расширенной неопределенности, соответствующей вероятности P =0,95 и границе равномерного распределения b =1, коэффициент k =0,95^. = 1,65.

При расширенной неопределенности, соответствующей вероятности P =0,99, коэффициент k = 0,9995· = 1,71. При расчетах принималось, что =1,73 и площадь под равномерным распределением соответствует единице и, соответственно, при Р = 1коэффициент k =1,73.

Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей, распределенных по равномерному (равновероятному) закону θ(Р) или расширенная неопределенность в терминах концепции неопределенности U_p, то коэффициент охвата при числе неисключенных систематических погрешностей m >4, зависит от доверительной вероятности. Коэффициент охвата k равен1,1 при Р =0,95; и1,4 при Р =0,99 [П2.1].

Неопределенности входных величин могут быть коррелированны. Для вычисления коэффициента корреляции r (x_i, x_q) используют согласованные пары результатов измерений , где w = 1, 2,…, n _ij; n _ij – число согласованных пар результатов измерений Вычисления проводят по известной формуле из статистики и теории вероятности

(П2.6)

Значимость коэффициента корреляции определяется критерием отсутствия или наличия связи между аргументами.

III. Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности

Оценку измеряемой величины y вычисляют как функцию оценок входных величин X ₁, X ₂,… X_m, по формуле (П2.1), предварительно внеся на все источники неопределенности, имеющие систематический характер, – поправки.

Вычисление суммарной неопределенности выходной величины проводят по тем же формулам, которые используются для расчета погрешностей косвенных измерений в классической концепции погрешности измерений.

В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность  вычисляют по формуле

                            (П2.7)

и в случае коррелированных оценок – по формуле

                                                                        (П2.8)

где - коэффициент корреляции;  - стандартная неопределенность i -ой – входной величины, вычисленная по типу А или типу В;  - коэффициенты чувствительности выходной величины по отношению ко входной величине x_i.

IV. Составление бюджета неопределенности

Под бюджетом неопределенности понимается формализованное представление полного перечня источников неопределенности измерений по каждой входной величине с указанием их стандартной неопределенности и вклада их в суммарную стандартную неопределенность результата измерений.

V. Оценка расширенной неопределенности результата измерений

Расширенная неопределенность равна произведению стандартной неопределенности u(y) результата измерений на коэффициент охвата k:

U (y) = k ^. u (y)                                               (П2.9)

Руководство по неопределенности [П2.1] рекомендует рассматривать все результаты измерений при доверительной вероятности (вероятности охвата) Р =0,95. При этой вероятности преимущественно определяют число степеней свободы по эмпирической формуле Велча-Саттерствейта

                              (П2.10)

При этом коэффициент охвата определяется при вероятности Р =0,95 с использованием таблицы распределения Стьюдента по формуле

,                             (П2.11)

Таблица 2П.3

Коэффициент охвата (  округлены до ближайшего целого числа)

	3	4	5	6	7	8	9	10	16	20	30
tP=0,95	3,182	2,776	2,571	2,447	2,365	2,306	2,262	2,228	2,120	2,086	2,042	1,960
tP=0,99	5,841	4,604	4,032	3,707	3,499	3,355	3,250	3,169	2,921	2,845	2,750	2,576

 

Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности (П2.7) можно записать в более простом виде

,               (П2.12)

также как и формулу (П2.10) для определения числа степеней свободы

,                               (П2.13)

где - число степеней свободы при прямых измерениях входной величины, n – число измерений, - оценка стандартных неопределенностей, вычисленных по типу А и по типу В, соответственно.

При оценке вклада неопределенности (см.формулу П2.10) по типу А принимают , по типу В . При этих условиях, легко показать из формулы (П2.10), что, если по типу А оценивается неопределенность только одной входной величины, то формула (П2.10) упрощается

,                                    (П2.14)

где n_A – число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу А.

VI. Представление результата измерений

При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации, чтобы можно было проанализировать и/или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей, а именно:

- алгоритм получения результата измерений;

- алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней;

- неопределенности всех используемых данных и способы их получения;

- алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей, включая значение коэффициента охвата k.

Таким образом, в документации по результатам измерений необходимо представлять:

u_c – суммарную неопределенность;

U_p – расширенную неопределенность;

k – коэффициент охвата;

u_i – данные о входных величинах;

- эффективное число степеней свободы.

Например, если результатом измерения является электросопротивление, то при оформлениирезультата измерений, записывают: «Электросопротивление резистора составляет 163,2 Ом. Расширенная неопределенность результата измерений составляет ± 2,4 Ом при коэффициенте охвата равном 2» или «измерения показали, что электросопротивление резистора находится в интервале (160,8 – 165,6) Ом при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95.

Несмотря на то, что нормативный документ РМГ 43-2001[П2.2] на территории России не действует (вместо него введен в действие ГОСТ Р 54500-2011 [П2.3]), приведенные в нем примеры очень понятны и могут дать необходимое представление о том, как проводить оценку неопределенности результатов измерений.

Пример из РМГ 43-2001

1) Приведем данные, имеющиеся в распоряжении оператора, задача которого состоит в измерении силы тока с помощью вольтметра и токового шунта.

1 Составление уравнения измерения

1.1Уравнение измерения

                                    (1-П2)

где I – сила измеряемого тока, V – напряжение на шунте, которое непосредственно измеряется для определения силы тока, R – сопротивление шунта, t °C – температура окружающей среды, способная повлиять на результат измерения силы тока.

1.2. Производится многократное (n =10) измерение напряжения с помощью вольтметра на сопротивлении шунта при температуре t = (23,00±0,05)°С.

Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах определены при его калибровке в виде следующего выражения:

q _V = 3× 10^-4× V + 0,02    (2-П2)

1.3. Сопротивление шунта определено при его калибровке для тока величиной I =10 А и температуре t =23,00°C и равно R ₀ = 0,010 088 Ом. Относительные границы неисключеннойсистематической погрешности сопротивления шунта, установленные при его калибровке, равны

d q _R = 0,070 %                         (3-П2)

Тогда при R = R ₀ получают

q _R = 7 × 10^-4 × R ₀ = 7,1×10^-6Ом                           (4-П2)

1.4. Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры, находят из формулы, определяющей зависимость сопротивления от температуры

R = R ₀[1 + a(t – t ₀)],

где R ₀ – значение сопротивления при t = t ₀ (t ₀=23,00°C; R ₀ = 0,010 088 Ом ); α – температурный коэффициент (a = 6∙10^-6 К^-1). В случае, когда границы погрешности измерения температуры составляют D t, границы соответствующей составляющей погрешности значения сопротивления равны

θ _{t , R} =α∙D t · R (5-П2)

При D t =0,05⁰С получают:θ_t,R = 3,0∙10^-9 Ом или 3,0·10^-5 %.

2 Нахождение результата измерений

В результате серии из n =10 измерений получают ряд значений V_i в милливольтах:

100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.

Среднеарифметическое вычисляют по формуле (П2.2)

мВ                       (6-П2)

Результат измерения силы тока получают по формуле

Ом

3 Анализ источников погрешности результата измерений

3.1. Среднеквадратическое отклонение (СКО), характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения , вычисляют по формуле (П2.3)

 или                              (7-П2)

Примечания. 1) Значок d здесь и далее обозначает относительное значение величины.

2) В соответствии с рекомендациями Руководства симметричные интервалы не обозначаются значками ±.

3.2. Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах при  в соответствии с формулой (2-П2), будут равны

= 5,0× 10^-2 мВ или 0,050% (8-П2)

3.3. Границы неисключенной систематической погрешности сопротивления шунта, в соответствии с (3-П2) и (4-П2), установленные при его калибровке, равны

Ом или (9-П2)

3.4. Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры в соответствии с (5-П2) равны

θ _{t , R} = 3,0∙10^-9 Ом или dθ_t,R = 3,0·10^-5 %               (10-П2)

В дальнейшем эту составляющую погрешности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими можно не учитывать.

4 Вычисление характеристик погрешности результата измерений

Для вычисления результирующей погрешности измерения, состоящей из случайной погрешности и суммы неисключенных погрешностей, используется формула, принятая в Государственной системе обеспечения единства измерений для косвенных измерений:

                           (11-П2)

где все составляющие погрешности определены при одной и той же доверительной вероятности Р. В числителе сумма доверительных границ случайной и суммарной неисключеннойпогрешности, в знаменателе - сумма СКО случайной и СКО суммарной неисключенной систематической погрешности, а - СКО суммарной погрешности измерения.

Примечание. Эта формула действительна при соотношении  Если систематическая составляющая погрешности мала, т.е. < 0,8, формула (11-П2) упрощается  С другой стороны, если > 8,0, то -  Заметим, что для общности составляющие погрешности представляются в виде

где k =1,1 при Р =0,95 и k =1,4 при Р =0,99 и m >4.

Ниже приводится вычисление всех составляющих погрешностей, входящих в формулу (11-П2).

4.1. Делается предположение о равномерном распределении неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений внутри их границ q _V и q _{R .}  Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока S _q определяют по формуле

(12-П2)

или

d S _q=0,050%

В этой формуле учтено, что коэффициенты влияния

4.2. Доверительные границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерений силы тока q (р) при доверительной вероятности Р =0,95 оценивают по формуле

     (13-П2)

или dq_0,95=0,095%

4.3. СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы тока S определяется по формуле

     (14-П2)

4.4. СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока будет равно

- (15-П2)

4.5. Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока при вероятности 0,95 и эффективном числе степеней свободы , вычисленные по формуле (11-П2), дают результат

D_0,95= 0,012 А или dD_0,95= 0,12%                         (16-П2)

 

5 Вычисление неопределенности измерений

5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер. Формула для вычислений подобна (7-П2)

 мВ (17-П2)

Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют по формуле

(18-П2)

5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным.

Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровке вольтметра, определяются соотношением (2-П2). Тогда соответствующую стандартную неопределенность u_{B , V} вычисляют по формуле

     (19-П2)

Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 7×10^-4× R. Тогда при R = R ₀ соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле

          (20-П2)

Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны  Соответствующую стандартную неопределенность получают в соответствии с формулой

                 (21-П2)

В дальнейшем этой составляющей неопределенности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими можно пренебречь.

Суммарную стандартную неопределенность u_B, вычисленную по типу В, определяют по формуле

(22-П2)

5.3. Суммарную стандартную неопределенность u_C вычисляют по формуле

                  (23-П2)

5.4. Эффективное число степеней свободы  рассчитывают по формуле (10)

(24-П2)

5.5. Коэффициент охвата k находят по таблице 4 и определяют по формуле

                                      (25-П2)

5.6. Расширенную неопределенность U _0,95 определяют следующим образом

          (26-П2)

 

6 Сравнение результата вычислений различными методами

Сравнение результата вычислений погрешности измерений в доверительном интервале, соответствующем вероятности Р =0,95 и расширенной неопределенности с коэффициентом охвата равном двум, т.е. соответствующем уровню доверия 0,95. совпадают и равны 0,012 А.

Следует отметить, что это не случайно, поскольку в основе расчетов лежат одни и те же измерительные данные и одни те же подходы к распределениям различных переменных. Сравнения результатов измерений, определенных с помощью классического подхода и концепции неопределенности, как показано на многочисленных примерах в различных публикациях дают одни и те же окончательные результаты [П2.1, П2.2].

Однако результат, полученный в концепции неопределенности, трактуется иначе, чем результат, полученный при применении классического подхода. В концепции неопределенности не используются понятия истинного и действительного значений измеряемой величины. Результат измерения - вот что считается реальностью, поскольку величину истинного значения никто не знает. Расширенная неопределенность трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли быть обосновано приписаны измеряемой величине.

Вообще расширенная неопределенность в концепции неопределенности не играет той роли, которая отводится в концепции погрешности. Считается, что основным результатом оценки является суммарная неопределенность u_C, а расширенная неопределенность отличается от нее на постоянный коэффициент, который необходим в ряде специальных случаев для показа надежности оценки. Этот коэффициент может принимать значения от 2 до 3, при уровне доверия от 0,95 до 0,99.

Наши незнания об измеряемой величине определяются неопределенностью и группируются около результата измерения.

Список литературы, используемой в Приложении 2.

П2.1. А.Э. Фридман Основы метрологии. Современный курс. – С.-Пб.: НПО «Профессионал», 2008.

П2.2 РМГ 43-2001 Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений», рекомендации по межгосударственной стандартизации, Межгосударственный совет по стандартизации, метрологии и сертификации, Минск, Изд-во стандартов, 2002

П2.3 ГОСТР 54500.1-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-1: 2009 Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководства по неопределенностям измерения. – М.: Стандартинформ, 2012. – 17 с.