Правила построения и обработки графиков

В экспериментальной физике результаты измерений важно представить в наглядной форме, удобной для использования и обработки. Обычно для этого составляют таблицы, графики и уравнения. Представление данных в виде таблиц облегчает сравнение различных значений, поэтому данные опыта, как правило, записывают в таблицу, которая позволяет также вести и обработку результатов измерений. При построении графика функциональная зависимость становится явной, а результаты опыта наглядными. Для совместных измерений по графику легко можно определить и количественную связь между неоднородными величинами. Так, например, проводя измерения изменения линейных размеров тела при увеличении или уменьшении температуры можно определить коэффициент линейного термического расширения этого объекта.

Чаще всего график представляет зависимость между двумя переменными (хотя современные возможности компьютерныхпрограмм позволяют строить и трехмерные зависимости). При построении графиков необходимо пользоваться определенными правилами. Конечно же, нынешний уровень автоматизации измеренийи применение компьютерных программ позволяет получить необходимые графики без особых усилий. Однако при обработке результатов научных исследований требуется не просто построить один график, а провести сравнение целого комплекса проведенных измерений. На младших курсах перед студентом стоит задача научиться строить графики, понимать, как их можно обрабатывать (проводить их интерполяцию или аппроксимацию), освоить компьютерные программы. Полученные навыки помогут при обработке научных результатов, полученных при выполнении курсовых и выпускных работ.

Рассмотрим основные правила построения графиков. График выполняется на миллиметровой бумаге, на которую наносятся координатные оси. Для независимой переменной всегда используется ось абсцисс. На оси наносится масштаб так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц (допустимы 2,5 и 4). Число делений с цифрами на каждой оси составляет обычно от 4 до 10. В конце оси указывается откладываемая величина и единицы ее измерения. Если необходимо, то туда же выносится и порядок масштаба (10 , где n - целое число). Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист, а погрешность измерения соответствовала одному-двум мелким делениям графика. При этом начало отсчета не обязательно начинать с нуля, иногда удобнее выбирать округленное число, отличное от нуля, и таким образом увеличить масштаб, но погрешность при этом по-прежнему должна составлять одно-два мелких деления. Для обработки результатов удобно, чтобы кривая была близка к прямой, наклоненной под углом 45^о к оси абсцисс. Для этого на графике может откладываться не сама величина, а ее функция (логарифм, обратная величина и т.д.) так, чтобы полученный график был линейным.

Точки на график нужно наносить точно и тщательно, обводя их кружком или каким-нибудь другим знаком (рис. 1.10). Если можно определить доверительный интервал для данного измерения или систематическую погрешность, то эти величины откладываются по обе стороны от точки (рис. 1.11) так, чтобы точка оказалась в центре креста, образованного доверительными интервалами или систематическими погрешностями.

Рис. 1.10 Зависимость сопротивления R образца от температуры[8]

По нанесенным на график точкам проводится плавная кривая. При этом следует руководствоваться следующими правилами, вытекающими из метода наименьших квадратов.

1. Чем больше изгибов и неровностей имеет кривая, тем она менее вероятна.

2. Сумма отрезков отклонений точек от кривой в одну сторону должна быть равна сумме отклонений точек от этой же кривой в другую сторону.

3. По возможности не должно быть очень больших отклонений точек от кривой, лучше иметь два-три небольших отклонения, чем одно большое.

Исключение составляет градуировочный график, на котором точки соединяются последовательно прямыми линиями, так как при этом мы считаем значения величин точными, а кривая служит для отыскания промежуточных значений линейной интерполяцией.

Окончив построение графика, пишут подрисуночную надпись, которая должна содержать точное и краткое описание того, что показывает график.

Рис. 1.11. Зависимость напряжения U, снимаемого с потенциометра, от длины введенной части x. [8]

Обработка результатов сводится к выяснению аналитической зависимости между величинами. Если эта зависимость нелинейная, то обработка будет сложной. Остановимся на случае, когда уравнение имеет вид прямой линии: y = ax + b. При этом угловой коэффициент находится как отношение приращения функции к приращению аргумента, взятому по выбранной прямой на возможно большем интервале изменения аргумента:

Оценим примерно погрешность определения коэффициента a. Если известны доверительные интервалы, то через их концы проводятся две вспомогательные прямые, параллельные ранее начерченной. Крайние точки параллельных прямых соединяются крест-накрест и находятся угловые коэффициенты этих прямых a ₁  и a ₂. Тогда погрешность коэффициента a будет

.

Аналогично определяется погрешность и в том случае, когда доверительные интервалы неизвестны. Вспомогательные прямые при этом проводятся через наиболее удаленные точки (рис. 1.10).