Дискретные случайные величины

Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину, необходимо знать все ее возможные значения и вероятность появления каждого значения.

Приведем конкретный пример. Пусть при измерении напряжения при помощи вольтметра, позволяющего производить измерения с дискретностью отсчета в 1 В, были получены следующие 10 значений: 34, 36, 34, 38, 36, 33, 35, 37, 38, 34 В. Далее запишем полученные значения в порядке возрастания (х ₁ < х ₂ <… < х _k) в таблицу 1 и занесем в нее, сколько раз было получено каждое значение n_k (k = 1, 2, …, m). Причем .

Таблица 1.3.

Из полученных значений можно вычислить среднее арифметическое:

(1.10)

Среднее значение можно получить, используя средневзвешенную сумму, так как по своему смыслу n_k является весовым множителем для каждого x_k:

(1.11)

Далее вместо n_k можно ввести относительные частоты F_k = n_k / N появления x_k. Если N будет стремиться к бесконечности, то частоты будут стремиться к вероятностям p_k появления конкретных значений дискретной случайной величины. Заметим, что сумма всех вероятностей будет всегда равна единице . Это выражение называется условием нормировки.

Следовательно, можно установить связь между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями. Это и будет закон распределения вероятности или просто закон распределения.

Проще всего задать закон распределения при помощи таблицы, в которую вносят все дискретные значения и их вероятности (примером может служить таблица 1.3). Также распределение может быть представлено в графическом виде (см. рис. 1.6), где по оси абсцисс откладывают возможные дискретные значения, а по оси ординат – вероятности этих значений.

Рис. 1.6. График распределения дискретной случайной величины.

Кроме закона распределения для характеристики дискретных случайных величин используются такие параметры, как математическое ожидание и дисперсия.

В общем случае под математическим ожиданием случайной величины понимают сумму произведений всех ее возможных значений на вероятность этих значений:

(1.13)

На практике используют оценку математического ожидания – среднее арифметическое всех полученных результатов измерений по формуле (1.11).

Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(1.14)

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой случайной величины, поэтому вводят понятие среднего квадратического отклонения (СКО):

   (1.15)

СКО будет иметь размерность самой измеряемой величины.

Дисперсия и СКО являются оценкой степени разброса случайной величины относительно ее среднего значения.