Неразветвленные цепи переменного тока

§ 12.1. Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Векторная диаграмма тока и напряжений. Реальная катушка любого электротехнического устройства имеет два параметра: активное сопротивление r и индуктивность L.Поэтому в схеме замещения реальную катушку можно представить активным r и реактивным Lэлементами, соединенными последовательно (рис 12.1). Явления, происходящие в реальной катушке, те же, что и в цепи рис. 12 1. Мгновенное значение тока в цепи с последовательным соединением активного сопротивления г и индуктивности Lзависит не только от приложенного напряжения и, сопротивления г, но и от возникающей в цепи ЭДС самоиндукции .Отсюда + Первое слагаемое напряжение активным напряжением, а второе — реактивным. Активное напряжение преодолевает активное сопротивление r,а реактивное 1 уравновешивает ЭДС самоиндукции e_L.Согласно выводам, получаемым в § 11.1 и 11.2, активное напряжение совпадает по фазе с током, а реактивное опережает ток на90°. Это положение необходимо учесть при построении векторной диаграммы цепи (рис. 12.2,а). За исходный вектор принимают вектор тока I который совмещают с положительным направлением оси абсцисс (при начальной фазе Ψ = 0). Вектор активного напряжения откладывают по направлению вектора токам I, а вектор реактивного (индуктивного) напряжения проводят под углом +90° к вектору тока I.

Таким образом, векторы напряжений U_a, U_L. и U образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Из векторной диаграммы видно, что напряжение Uна зажимах катушки опережает по фазе ток I на угол ср. Величину этого угла можно определить из выражения .

2.Полное сопротивление цепи. Из треугольника напряжений, пользуясь теоремой Пифагора, определим напряжение на зажимах катушка: Отсюда ток в цепи

(12.1)

Это отношение выражает закон Ома. Величина называется полным сопротивлением цепи и обозначается z.Таким образом, полное сопротивление

(12.2)

а ток

(12.3)

Активное, индуктивное и полное сопротивления связаны между собой таким же соотношением, как стороны прямоугольного треугольника (рис. 12.2,6); r и x_L — катеты этого треугольника, az— гипотенуза. Треугольник сопротивлений можно получить, если все стороны треугольника напряжений (рис. 12.2, а) уменьшить в I раз. Действительно, U/I=z; U_a/I = r\ Ul/I =x_L.Сопротивления цепи постоянны, поэтому их нельзя изображать векторами.

3.Активная, реактивная и полная мощности. Умножим стороны треугольника напряжений (рис. 12.2, а) на ток в цепи I. В результате получим подобный треугольник, стороны которого соответствуют мощностям (рис. 12.2, в). Первый катет треугольника мощностей изображает активную мощность цепи

, (12.4)

а второй — реактивную

. (12.5)

Гипотенуза треугольника мощностей изображает полную мощность

. (12.6)

Полная мощность — характерная величина генераторов, трансформаторов и других электрических устройств. Единицей полной мощности в СИ является вольт-ампер (В·А). Более крупной единицей является киловольт-ампер (кВ·A): 1 кВ·А — = 10³ В·А. Формулы (12.4) — (12.6) справедливы для вычисления соответствующих мощностей в любой цепи переменного тока.

4.Графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Напряжение на зажимах катушки Uопережает по фазе ток I на угол φ, поэтому фаза напряжения должна быть большефазы тока на угол φ. Если мгновенное значение тока в катушке то напряжение . Мгновенная мощность цепи р=ш. На рис. 12.3 даны графики тока, напряжения и мощности. Мгновенная мощность равна нулю в те моменты времени, когда равны нулю напряжение и или ток i.Если напряжение и ток имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна. В это время цепь получает энергию от генератора. В те части периода, когда напряжение и ток имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна. При этом некоторая часть энергии возвращается генератору.

§ 12.2. Цепь с активным сопротивлением и емкостью

1.Векторная диаграмма тока и напряжений. В § 11.4 рассмотрена цепь с емкостью (идеальный конденсатор). В действительности любой конденсатор обладает потерями, т. е. активной мощностью Р. Поэтому реальный конденсатор можно представить схемой последовательного соединения активного сопротивления г и емкостного сопротивления х_с (рис. 12.5). Сопротивление r определяется мощностью потерь: . Напряжение цепи и в любой момент времени состоит из двух слагаемых: u = u_a + u_c - Активное напряжение и_а совпадает по фазе с током в цепи i,а емкостное u_c отстает по фазе от тока на 90°. Действующие значения слагаемых напряжения: U_а = Ir, Uc= Ix_c= I /( ωC). Для определения действующего значения напряжения Uпостроим векторную диаграмму. Построение диаграммы (рис. 12.6, а) начнем Рис. 12.5с вектора тока I, отложив его горизонтально. Вектор активного падения напряжения U_а отложим по направлению вектора тока I, а вектор емкостного падения напряжения Ucповернем относительно вектора тока на 90° по ходу часовой стрелки. Сложим векторы напряжений U_aи Uc,получим вектор напряжения U.Векторы напряжений U_a, Ucи Uобразуют прямоугольный треугольник. Из векторной диаграммы видно, что напряжение на зажимах цепи отстает по фазе от тока на угол ф. Абсолютную величину этого угла можно определить из выражения cosφ = U_a / U.

2.Треугольники сопротивлений и мощностей. Все стороны треугольника Напряжений уменьшим в I раз. В результате получим треугольник сопротивлений (рис. 12.6)

Из этого треугольника следует, что полное сопротивление рассматриваемой цепи

(12.7)

Значит ток,

(12.8)

Полученное выражение представляет собой закон Ома. При увеличении сторон треугольника напряжений (рис. 12.6, а) в I раз получим подобный треугольник мощностей (рис. 12.6, в). Мощности цепи: активная реактивная

, полная

Разность фаз напряжений и тока в цепи можно определить из выражений:

§ 12.3. Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

Если в неразветвленной цепи с активным сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью C (hрис.12.7) протекает ток , то мгновенное значение приложенного к цепи напряжения . Напряжение на активном сопротивлении u_a совпадает по фазе с током в цепи i, напряжение на индуктивности u_L опережает ток на 90º, °, а напряжение на емкости и_с отстает от тока на 90°. Действующие значения напряжений на участках цепи: , .Действующее значение напряжения на зажимах цепи получим методом векторного сложения: . Построим векторную диаграмму тока и напряжений. Сначала отложим вектор тока I (рис. 12.8,а). Вектор падения напряжения в активном сопротивлении U_aсовместим с вектором тока I, вектор индуктивного падения U_Lотложим вверх под углом 90°, а вектор емкостного падения напряжения Uc— вниз под углом 90° к вектору тока I. Сложив векторы напряжений U_a, U_LиUc,получим вектор напряжения U,приложенного ко всей цепи. Векторная диаграмма построена для случая, когда x_L>x_cи цепь имеет активно-индуктивный характер. При этом условии U_L>Uc,а напряжение Uопережает по фазе ток I на угол ф. Если Xc>x_L,то U_c>U_Lи цепь имеет активно-емкостный характер. При этом напряжение U(рис. 12.9) отстает по фазе от тока I на угол φ. При равенстве реактивных сопротивлений (x_L=xc) U_L=Uc(рис. 12.10).При этом напряжение Uсовпадает по фазе с током I (φ=0)и цепь носит активный характер. Этот режим в рассматриваемой цепи называется резонансом напряжений.

2.Треугольники сопротивлений и мощностей. Рассмотрим треугольник напряжений на рис. 12.8,а. Один катет этого треугольника выражает активное напряжение U_a,другой — реактивное напряжение цепи U_L— U_c,а гипотеза — полное напряжение U.Разделив стороны треугольника напряжений на ток I, получим треугольник сопротивлений (см. рис. 12.8,6), из которого следует, что полное сопротивление цепи ². Поэтому ток в цепи

(12.9)

Если все стороны треугольника напряжений (см. рис. 12.8, а) умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (см. рис. 12.8, в). Мощности: активная , где ; реактивная ; .

Угол сдвига между напряжением и током равен углу между сторонами z и r треугольника сопротивлений иопределяется через тангенс:

или через косинус и синус

§ 12.4. Общий случай неразветвленной цепи

1.Векторная диаграмма тока и напряжений. На рис. 12.12 показана схема неразветвленной цепи, участки которой обладают активными и реактивными сопротивлениями. На векторной диаграмме (рис. 12.13, а) отложены векторы активных напряжений U_a₁U_a₂, и_аз, совпадающих по фазе с током, индуктивных — U_L₁и UL2,опережающих ток по фазе на 90°, и емкостных — U_C₁и U_C₂, отстающих от тока по фазе на 90°. Сумма всех векторов напряжений равна вектору напряжения Uна зажимах цепи. На векторной диаграмме (рис. 12.14) векторы напряжений построены в той же последовательности, в которой соединены соответствующие элементы цепи.

2.Треугольники сопротивлений и мощностей. Рассмотрим векторную диаграмму на рис. 12.13, а. Первый катет полученного треугольника напряжений равен арифметической сумме активных напряжений , второй — алгебраической сумме реактивных напряжений , а гипотенуза — напряжению Uна зажимах цепи. Уменьшив все стороны этого треугольника в I раз, получим треугольник сопротивлений (рис. 12.13.б), из которого следует, что полное сопротивление цепи:

Таким образом, при последовательном соединении нескольких приемников складывать между собой можно только активные или только реактивные сопротивления, учитывая при этом их знаки. Индуктивные сопротивления берутся с положительным знаком, а емкостные - с отрицательным. Складывать модули полных сопротивлений нельзя. Для нахождения эквивалентного полного сопротивления цепи используется формула 12.10.Ток в цепи:

Увеличив каждую из сторон треугольника напряжений в I раз, получим треугольник мощностей (рис. 12.13, в). Мощности цепи: активная , где или ;реактивная , где ; полная

Рис. 12.14