Общие сведения о комплексных числах

1. Алгебраическая форма. Для расчета цепей переменного тока широко используются комплексные числа. Для этого изме­няющиеся синусоидально ЭДС, напряжения и токи, а также со­противления, проводимости и мощности изображаются комплекс­ными числами. Это позволяет заменить графические действия над векторами алгебраическими действиями над комплексными числами, использовать для расчета цепей переменного тока за­коны Кирхгофа и все методы расчетов сложных цепей постоянного тока.

Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в одной из трех форм: алгебраической, показатель­ной и тригонометрической. В алгебраической форме комплексное число (сокращенно — комплекс) А выражается как сумма дейст­вительного числа А' и мнимого числа ,т. е Мнимое число равно произведению мнимой единицы и коэффициента при ней А".

Для графического изображения комплексных чисел возьмем прямоугольную систему координат (комплексную плоскость, рис. 14.1) и условимся откладывать от горизонтальной оси дей­ствительные, или вещественные, числа, а по вертикальной — мнимые, принимая во внимание их знаки. Оси действительных и мнимых чисел сокращенно называют действительной и мнимой осями. Имея, например, комплекс , нанесем на действи­тельную ось число 3, а на мнимую — мнимое число . Из концов полученных отрезков восставим перпендикуляры до их пересече­ния. Из начала координат в точку пересечения проведем вектор, который будет выражать заданное комплексное число. Таким образом, всякому комплексу на комплексной плоскости соответ­ствует некоторый вектор. Число называют поворотным множителем. Умножение на jкомплексного числа приводит к повороту изображающего вектора на 90° в положительном направлении, т. е. против направления вращения ча­совой стрелки. Если задано действи­тельно положительное число , то на комплексной плоскости оно изобразит­ся отрезком или вектором, направлен­ным по действительной положительной полуоси. При умножении числа  на I получим мнимое число ,которое изображают вектором, направленным по мнимой положительной полуоси,т. е. повернутым относительно первого вектора на 90° в поло­жительном направлении.

2. Показательная форма. Для того чтобы комплексное число написать в показательной форме, необходимо знать его модуль и аргумент. Модуль комплексного числа определяется по теореме Пифагора: . Например, модуль комплекса  (рис. 14.1) равен . Угол , составлен­ный вектором с действительной положительной полуосью, назы­вается аргументом комплекса.Положительные аргументы ком­плексов откладывают от действительной положительной полуоси против, а” отрицательные — по ходу часовой стрелки. Аргумент комплекса можно определить по тангенсу: . Например, для комплекса , откуда . Комплексное число в показательной форме выразится произведением модуля и поворотного множителя ,где —основание натуральных логариф­мов. Поворотный множитель показывает, что вектор на ком­плексной плоскости повернут относительно действительной поло­жительной полуоси на угол а против направления движения часо­вой стрелки. Для рассмотренного примера  Если аргумент комплекса отрицателен, то .

3. Тригонометрическая форма. При решении задач комплекс­ным методом приходится переходить от показательной формы к алгебраической. Заданными являются модуль и аргумент ком­плекса, требуется определить действительную и мнимую части комплексного числа и представить его в алгебраической форме. Из прямоугольного треугольника (рис. 14.2) ,а

. Следовательно, комп­лекс

Полученная запись выражает тригоно­метрическую форму комплексного числа. Пусть задан комплекс  а требуется записать этот же комплекс в тригонометрической и алгебраической формах. Для этого воспользуемся толь­ко что полученной формулой

4. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Над комплексными числами можно производить действия сложения, вычитания, умножения, деления. Для сложения и вычи­тания комплексы представляют в алгебраической форме. При сло­жении двух и нескольких комплексных чисел отдельно складывают их действительные и мнимые части . Пусть . Тогда . При вычитании одного комплексного числа из другого вычитаются отдельно их действительные и мнимые части . Так как комплексное число можно представить вектором, то сложение или вычитание чисел соответствует сложению и вычитанию векторов. Умножение и деление комплексов произ­водятся в показательной или алгебраической формах записи. В первом случае эти действия выполняются проще. Поэтому ком­плексы, заданные в алгебраической форме, для умножения или деления переводят в показательную. Произведение двух ком­плексов, выраженных в показательной форме, есть комплекс, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент — алгебраической сумме аргументов перемноженных комплексов: , где

, а . Пусть .Если сомножители имеют одина­ковые модули, равные по величине, но противоположные по знаку аргументы, то их произведение равно квадрату модуля сомножителей: . Два таких ком­плекса называются сопряженными. Частное от деления двух комплексов, выраженных в показательной форме, есть комплекс, модуль которого равен частному от деления модуля комплекса делимого на модуль комплекса делителя, а аргумент равен алгеб­раической разности аргументов делимого и делителя:

Пусть . Тогда