Выражение основных электрических величин комплексными числами

1. Токи, напряжения в комплексной форме записи. Синусои­дальные величины можно изображать комплексными числами. Комплексные значения тока, напряжения и.ЭДС принято обо­значать прописными буквами с точкой: , а их модули, соответствующие действующим значениям, обозначают теми же буквами, но без точек над ними: . Вернемся к цепям с последовательным соединением активного сопротивления и ин­дуктивности (см. § 12.1), активного сопротивления и емкости (см. § 12.2). Векторная диаграмма первой цепи, построенная на комплексной плоскости, дана на рис. 14.3, а, а второй — на рис. 14.4, а. В обоих случаях вектор тока  направлен по оси действительных чисел вправо от начала координат. Поэтому комплекс тока /, где  — модуль комплекса тока, а

0° — его начальная фаза. Комплекс напряжения на зажимах це­пи с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности (рис. 14,3,а) где U_aи — вещественная и мнимая части; Uи — модуль и началь­ная фаза комплекса напряжения. Таким образом, комплексное изображение синусоидальной величины определяет ее действую­щее (амплитудное) значение и начальную фазу. Пусть ток в катушке  = 5 А, активное падение напряжения , а индуктивное . Тогда комплекс тока , а ком­плекс напряжения  Для перехода от ал­гебраической формы к.показа тел ьной найд ем модуль комплекса напряжения:      

. Значит . Поэтому комплекс напряжения

2. Сопротивления и проводимости в комплексной форме.

Сопротивления и проводимости можно выразить комплексными числами. Комплексное сопротивление цепи обозначается ,а комплексная проводимость— .При обозначении комплексных величин принято ставить точки только над теми комплексами, которые изображают синусоидально изменяющиеся величины. Поэтому для комплексов полного сопротивления и проводимо­сти вместо точки над буквой ставят черту снизу. Модуль комплексного сопротивления цепи обозначают , а комплексной проводимости — . Рассмотрим треугольники сопротивлений и проводимостей цепей с последовательным соединениемактивно­го сопротивления и индуктивности (рис. 14.3,6, в), расположен­ные на комплексной плоскости. Активные сопротивления и прово­димости изображены положительными отрезками на оси действи­тельных чисел, а реактивные — положительными или отрицатель­ными на оси мнимых чисел. С учетом этого составим комплексы полных сопротивлений и проводимостей. Для цепей с последо­вательным соединением и , а для цепей с  и C . Модули и аргументы этих величин определяют по следующим формулам. Для цепей с последовательным соедине­нием  и и , а для цепей с и .

3. Комплексное значение мощности. В общем случае комплекс­ное напряжение , а комплексное значение тока . Тогда сопряженный комплекс тока, отмеченный звездочкой  д_ля определения мощности в комплексной форме необходимо комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока: _ . Действительная часть полученного комплекса равна активной мощности, а мнимая — реактивной. Положительный знак перед мнимой частью полученного комплекса указывает на индуктивный характер нагрузки, а отрицательный — на емкостный.

§ 14.3. Законы Омы и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме 1=0/Z = 0Y.В этом выражении учитывается связь между действующими значениями напряжения Uи тока I,а также разность фаз между ними. Ком­плексное сопротивление ветви с сопротивлением г, индуктивностьюКомплексное эквивалентное

сопротивление неразветвленной цепи равно сумме всех ее ком­плексных сопротивлений: .Комплексная эквивалентная проводимосп при'параллельном соединении равна сумме комплексных проводимостей отдельных параллельных ветвей: . Комплексное сопротивление эк­вивалентное двум параллельным ветвям, . Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывают в виде , т. е. алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные нап­равления токов. Токи, направленные к узлу, записываются с положитель­ным законом, а от узла — с отри­цательным. Например, для узла А (рис. 14.5) получим . Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи в комплексной форме записывается в виде = т. е. алгебраическая сумма действующих в контуре комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комп­лексных падений напряжений. Уравнения по второму закону Кирхгофа записывают после выбора положительных направ­лений токов во всех ветвях цепи. Для схемы рис. 14.5

§ 14.4. Расчет последовательно-параллельных цепей

Изображение синусоидальных величин комплексными числами позволяет применить для расчета цепей синусоидального тока те же методы и соотношения, которые использовались в цепях пос­тоянного тока. Рассмотрим пример расчета цепи со смешанным соединением участков.

Глава 15

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ