Понятие о работе внешних сил и внутренних усилий. Определение перемещений в упругих системах.

Работа внешних сил.

 

Приложим, например, к торцу                     

консоли сосредоточенную силу,

которую будем медленно увели-

чивать от нуля до конечной вели-

чины F.

 

Медленное приложение нагрузки называется статическим. В процессе загружения консоли точка приложения силы переместится вниз на величину D - дельта.

Из курса физики известно, что величина дельта прямо пропорциональна силе F

D = a · F (1), где

a - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, материала, расчетной схемы сооружения.

Увеличим F на бесконечно малую величину dF. Это увеличение силы вызовет приращение вертикального перемещения dD. Определим величину элементарной работы dW, внешние силы (F+dF) на перемещение dD.

dW = (F+ dF) · dD

dW = F· dD + dF · dD

где dF · dD - величина второго порядка малости, поэтому произведением dF · dD можно пренебречь. Тогда dW = F· dD.

Заменим D его значением из формулы (1)

dD = d (a · F) = a · dF

dW = F · a · dF

Чтобы величину всей работы совершённой сосредоточенной силой при её увеличении от нуля до конечного значения F нужно проинтегрировать это выражение

W = ò dW =ò F · a · dF = a ò FdF = a · F/2 ½^F  = a · F²/2 = F · aF/2

Учитывая (1) получим окончательное значение работы силы F при её статическом приложении

W = F ·D /2                  (2)

Теорема Клайперона

Работа внешней силы на упругом перемещении по направлению этой силы равно половине произведения конечной величины силы и перемещения. Если к системе статически приложен сосредоточенный момент, то величина работы

W = m · j / 2, гдеj- угол между касательной и осью в радианах.

 

 

Если на сооружение действует группа нагрузок, то полная работа

W = å (F₁ · D₁) /2 + å (m_i · j_i) /2,   где D _i j _i  - конечные перемещения силы F_i и m_i соответственно. Эти перемещения вызваны действием всей группы сил.

Работа внутренних усилий.

Через стержень загруженный произвольными нагрузками проведем два поперечных сечения на расстоянии dx друг от друга.

 

 

 

M, Q, N – внутренние усилия, но по отношению участка они могут быть рассмотрены как внешние нагрузки. Если внешние нагрузки увеличивать статически, то внутренние усилия M, Q, N также возрастают статически. При этом они совершают работу на соответствующих им перемещениях. Воспользуемся принципом суперпозиций (независимого действия сил) и рассмотрим влияние на величину работы каждого усилия отдельно. Защемим например левое сечение элемента dx, а к правому сечению только силу N.

 

 

Под действием силы N правое сечение переместилось вправо на Ddx

В соответствии с законом Гука Ddx = Ndx / EA     ,      EA – жесткость.

Определим элементарную работу совершенную силой N на перемещении Ddx

dWn = N · Ddx /2 = (N · N · dx) / 2EA

dWn = (N² · dx) / 2EA

Аналогично загрузив правое сечение последовательно изгибающим моментом М и поперечной силой Q получим величины элементарных работ

dWm = (M² · dx) / 2E · I

dWQ = m (Q² · dx) / 2G · A

m - поправочный коэффициент, зависящий только от формы поперечного сечения.

Таким образом полная работа внутренних усилий для элемента длиной dx будет

  

dW = dWn + dWQ + dWm = [(N² · dx) / 2EA] + [m (Q² · dx) / 2G · A] + [(M² · dx) / 2E · I ]

Проинтегрировав это выражение мы получим формулу полной работы внутренних усилий в пределах всего стержня

  W = ò M²dx / 2E I + ò m Q²dx / 2GA + ò N² dx / 2EA

Для стержня состоящего из N стержней результаты интегрирования можно просуммировать.

W = å ò M²dx / 2E I + å ò m Q²dx / 2GA + å ò N² dx / 2EA                 (3)

Дополнительная работа внешних сил и внутренних усилий.

Приложим к балке сосредоточенную статически нарастающую силу F₁.

 

 

 

 

Точкой приложения этой силы переместится по вертикали на величину D₁₁

Вообще D_IK это:

1) перемещение точки приложенной силы F_i.

2) по направлению силы F_i.

3) от действия силы F_k.

 

На перемещении D₁₁ силой произведена работа F₁

W₁₁ = F₁ D₁₁ / 2

Теперь также статически в другой точки 2 приложим силу F₂

При этом прогибы балки во всех точках увеличиваются, а точка 2 перемещается вниз на величину D₂₂

W₁₁ = F₂ D₂₂ / 2

При действии F₂ силы точка 1 также переместилась вниз на величину D₁₂

Определим работу, совершенную силой F₂ на перемещении D₁₂

W₁₂ = F₁ D₁₂           

Теорема Клайперона не применима, так как сила F₁ остается постоянной на перемещении D₁₂

W₁₂ - дополнительная (возможная или виртуальная работа)

Определим полную работу совершенную силами F₁ и F₂

W = W₁₁ + W₁₂ + W₂₂ = F₁ D₁₁ / 2 + F D₁₂  + F₂ D₂₂ / 2

Из этого выражения получим величину дополнительной работы внешних сил

W₁₂ = W - W₁₁ - W₂₂

Обозначим внутренние усилия возникающие в балке от силы F₁ - Q₁ M₁ N₁ , а от действия

F₂ - Q₂  M₂ N₂ . Тогда полные усилия от одновременного действия F₁ и F₂ будут (M₁+ M₂ Q₁+ Q₂ N₁+N₂)

Вычислим величины работ в соответствии с формулой (3) и подставим их в выражение дополнительной работы получим формулу дополнительной работы внутренних усилий

W₁₂ = å ò (M₁ M₂)dx / E I + å ò m (Q₁ Q₂) dx / GA + å ò (N₁ N₂) dx / EA       (4)

Теорема Бетти

Приложим к балке 2 статически возрастающие силы F₁ и F₂

 

 

Точка приложения сил F₁ и F₂ при этом получат перемещения.

Определяем полную работу сил W = F₁ (D₁₁ D₁₂) / 2 + F₂ (D₂₂ D₂₁) / 2

Но с другой стороны работа будет W = F₁ D₁₁  + F₁ D₁₂ + F₂ D₂₂ / 2

Приравняем эти выражения:

F₁ (D₁₁ D₁₂) / 2 + F₂ (D₂₂ D₂₁) / 2 = F₁ D₁₁  + F₁ D₁₂ + F₂ D₂₂ / 2

F₁ D₁₁ / 2+ F₁ D₁₂ / 2 + F₂ D₂₂ / 2 + F₂ D₂₁ / 2  = F₁ D₁₁  + F₁ D₁₂ + F₂ D₂₂ / 2

F₂ D₂₁ / 2 = F₁ D₁₂ - F₁ D₁₂ / 2

F₂ D₂₁ / 2 = F₁ D₁₂ / 2

F₂ D₂₁ = F₁ D₁₂

W₁₂ = W₂₁                                                             (5)

Теорема: дополнительная работа сил первого состояния на перемещениях, по их направлениям вызванных силами второго состояния равна дополнительной работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям вызванных силами первого состояния.

     Теорема Максвелла.

Приложим к балке две вертикальные единичные силы одновременно, в произвольной точки 1 приложена F₁=1, а в точке 2 – F₂=1. Это состояние можно рассматривать как сумму двух составляющих: 1) приложена только сила F₁=1; 2) приложена только сила F₂=1.

Обозначим перемещение точки 1 во втором состоянии d, а точка 2 в общем виде d_ik – это перемещение точки приложения Fi =1 по направлению Fi (mi) от действия F_k =1 (mk=1).

В соответствии с теоремой Бетти F₁ ·d₁₂ = F₂ ·d₂₁ так как F₂ =F₂ =1, то d₁₂ =d₂₁ и    d _ik =d _ki

Теорема Максвелла.

Перемещение точки приложения любого единичного воздействия по направлению этого воздействия от катого единичного воздействия равно перемещению точки приложения катого единичного воздействия от итого единичного воздействия.

Интеграл Мора

Пусть на балку действует произвольная нагрузка (например, сосредоточенная сила F), это действительное (грузовое). Теперь в той же балке в точке 2 приложим только одну вертикальную силу, это состояние называется единичным.

 

Догрузим первое состояние заданной действительной нагрузкой. Вычислим дополнительную работу одной силы на перемещении D₂₁

W₂₁ = F · D₂₁ =1 · D₂₁   W₂₁ = D₂₁

Вывод: дополнительная работа одной силы на перемещение вызванной равно перемещению точки приложении одной силы от заданной нагрузки.

Точно такое же перемещение имеет точка 2 в действительном состоянии.

В соответствии с формулой (4) получим

D₂₁ = W₂₁ = å ò   dx + å ò   dx + å ò  dx                    (6)

Зависимость (6) называется интегралом Морро. С его помощью можно определить перемещение любых точек системы.

M Q N – это внутренние усилия вызванные единичной нагрузкой в одной состоянии.

M Q N – это внутренние усилия от заданной нагрузки в действительном состоянии.

Примечание: если нужно определить линейное перемещение, то к заданной точке прикладывают одну сосредоточенную силу, а если угловое – один сосредоточенный момент.

 

         

     Правило Верещагина.

Если сооружение состоит из прямоугольных элементов имеющих постоянную по длине элемента жесткость, то для определения перемещений необязательно использовать интегрирование по формуле (6).

Рассмотрим участок (элемент) длиной l для которого эпюра изгибающих моментов L – криволинейная, а в первом состоянии – прямолинейная.

 

 

                                                                                       требуется определить

интеграл вида

ò М · М · dx

 

                                                                                                                              

 

 

 

 

Определим: М из треугольника АВС

ВС/ АВ = tg a => ВС = АВ tg a

М = (а + х) tg a

M dx = dv            dv - площадь заштрихованной фигуры

ò М · М · dx = ò (а + х) tg a · dw = tg a ò (а + х) dw = tg a · Sy ^M

Sy ^M – статический момент относительно Y

Если известно положение центра тяжести фигуры и площадь всей фигуры, то статический момент будет Xc = Sy / A Sy ^M = w (a + xa)

ò М · М · dx = tg a · w (a + Xc)

y_c – это ордината первой эпюры под центром тяжести грузовой эпюры

из треугольника C’B’A’        y_c / (a + Xc) = tg a => y_c = (a + Xc) · tg a

       ò М · М · dx = y_c · w                               (7)

Вывод: интеграл вида ò М · М · dx = y_c · w произвольной площади первой эпюры (w) на ординату y_c взятую из другой эпюры и расположенную под центром тяжести первой.

Формула (7) отличается от первого слагаемого интеграла Морро отсутствием жесткости EI, значит чтобы вычислить перемещение нужно формулу (7) разделить на EI.

Примечание: если одна из эпюр криволинейна, то площадь w может быть вычеслена для любой из эпюры.

Перемножаемые эпюры могут иметь форму треугольника, квадрата, трапеции, параболы и их комбинаций.

 

Рассмотрим основные случаи передвижения эпюр.

 

 

                          Эпюра М₁ х эпюра М₂ =

                       = y_c · w = (1/2 a₁ l₁)

 

                           y_c / 2/3l = a₂ / l;

 

       y_c = a₂ ·2l / 3l = 2/3 a₂

                       Эпюра М₁ х эпюра М₃ =

                       = (1/2 a₁ l₁) b₃/3

 

если перемножить эпюры

расположенные по разные

стороны от оси, то их про-

изведение отрицательно.

 

               Эпюра М₁ х эпюра М₃ =      

         = - (1/2 b₄ l) a₁/3 =

     = - (1/2 a₁ l) b₄/3

 

 

                              трапецию разбивают на два

треугольника и перемножа-

ют по правилу перемноже-

ния треугольников.

 

 

                                                          Эпюра М₁ х эпюра М₅ =

       = (1/2 a₁ l) (2a₅/3 + b₅/3)

 

           Эпюра М₅ х эпюра М₆ =

 

                        (при перемножении трапе-

ции её можно разбивать на

треугольники использовать

правило перемножения тре-

угольников, но можно ис-

пользовать формулу трапеции)

 

 

= l/2 (2a₅ a₆ + 2b₅ b₆ + a₅ b₅ +a₆ b₆)

 

Эпюра М₆ х эпюра М₇ =

(скрученная трапеция)

=l/6 (-2a₅ a₇ + 2b₅ b₇ - a₇ b₅ + a₅ b₇)

 

Эпюра М₆ х эпюра М₇ =

= (a₈ l) · (a₅ b₅ /2)

Эпюры криволинейные.

Площадь параболы равно двум площадям               

описанного вокруг неё прямоугольника.

 

Простая парабола

 

w_М9 = 2/3(qe²/8) l (qe³/12)

Эпюра М₁ х эпюра М₉ = - (qe³/12) a₁/2

 

 

Если парабола сложная (эпюра 10), то её

раскладывают на простую параболу и

оставшуюся прямолинейной эпюру которую

перемножают по известным правилам.

 

Эпюра М₁ х эпюра М₁₀ =

= Эпюра М₁ х (эпюра М₁₀  + эпюра М₁₀ ) =

= (qe³/12) (a₁/2) + (a₁ l /2) (2/3a₁₀ + 1/3 b₁₀)