Внутренние силовые факторы.

 

Брус – тело, одно из измерений, которого длина, значительно больше других. Брус к которому приложена нагрузка перпендикулярно его оси называется балкой, а вдоль оси – стойкой.

Рассмотрим не загруженный внешними нагрузками брус. Между внутренними частицами бруса действуют внутренние силы, если теперь к нему приложить внешнюю нагрузку, то величина внутренних сил изменится, т. е. появятся дополнительные внешние силы.

Сопромат изучает только дополнительные внутренние силы.

Пусть имеем загруженный произвольными силами и находящийся в состоянии равновесия брус.

Мысленно рассечем брус плоскостью перпендикулярно его оси. Отбросим, например, правую часть и рассмотрим равновесие оставшийся левой части. Чтобы эта часть осталась в равновесии, нужно к сечению приложить силы компенсирующие действия внешних сил F₁, F₂, …, F_k  приложенных к левой части. В общем случае все силы, приложенные к сечению приводятся к главному вектору R и главному моменту М.

Через центр тяжести сечения проводят оси x, y, z. х совпадает с продольной осью стержня, y – с поперечной. Разложим R на два направления N – продольная сила (проекция R на х) Спроецируем Q на ось y и z. R = N + Qy + Qz Главный момент также разложим на две составляющих: Момент Мк действующий в в плоскости сечения. Момент Ми плоскости перпендикулярной сечению.

 

Момент Мк называется крутящим моментом, а Ми – изгибающим.

Ми разложим на момент относительно оси Мy и Мz. В общем случае в сечении возникает шесть внутренних силовых факторов: три силы (Qy, Qz, N) и три момента (My, Mz, Mk). Для такой системы имеем шесть условий равновесия

 

       Σ x =0,   Σ y =0,  Σ z =0,       

       Σ m _x =0, Σ m _y =0, Σ m _z =0.

 

Примечание: в этих условиях равновесия учитывают внешние и внутренние силы, действующие только на одну часть бруса.

Если из шести факторов, все кроме N= 0, то считают, что брус находится в состоянии растяжения или сжатия. Если Mz и Qy не равняются нулю, а остальные усилия равняются нулю, то имеем поперечный изгиб в плоскости xy.

Другие комбинации внутренних факторов приводят к другим напряженным состояниям (продольный изгиб, кручение, внецентренное растяжение сжатие и т. д.)

Вывод: Внутренние силовые факторы определяются по внешним силам приложенных к определённой части графическим путем составления и решения условий равновесия.

 

 

Напряжения.

 

Внутренние силы в действительности не являются сосредоточенными. Они действуют по площади поперечного сечения с интенсивностью Р = lim DR / DA.

DR – равнодействующая внутренних сил на площадкеDА. Разложим DR на два напря- жения: нормаль к площадки и получим век- тор DN; и касательную сечения. Тогда        lim DN / DA = σ - нормальное напря- жение. lim DT / DA = t - касательное напря- жение. Размерность напряжения [ Н/м2, кН/м2, Па, Мпа, кг/м2 ]. От величин σ и t зависит прочность кон- струкции и всего сооружения. Найдем зави симость между напряжением и внутренними силовыми факторами.

Для этого рассмотрим элементарную площадку DА поперечного сечения бруса A. По площадке действуют σ и t напряжения. Разложим t на составляющие t_y и t_z . тогда на площадке DА действуют элементарные сосредоточенные силы σdA, t_ydA, t_zdA. Определим проекции всех сил на оси, а также моменты относительно всех осей.

å x  =  ò d dA  =  N  – продольная сила

å y  =  ò t_y dA  =  Qy  – поперечная сила

å z  = ò t_z dA   =  Qz  – поперечная сила

å m_x = ò t_y dA z - ò t_y dA y = Mk

å m_y  =  ò z σ dA  =  My  – изгибающий момент относительно оси y

å m_z  =  ò y σ dA  =  Mz  - изгибающий момент относительно оси z

         

Деформации.

 

Изменение форм и размеров конструкции под воздействием нагрузки или температуры называется деформацией.

Рассмотрим точку а внутри тела. Проведем через неё бесконечно малые отрезки, аb = dx; ac = dy.

После приложения к телу нагрузки произойдет изменение формы тела, а данные отрезки займут некоторое новое положение. При этом изменятся их длины и углы. Ddx и Ddy – абсолютные линейные деформации

Ddx / dx = ε_x       -    относительная линейная

                            деформация вдоль оси х

Ddy / dy = ε_y       -    относительная линейная

                            деформация вдоль оси y

     gxy  –              угловая деформация.

Основные гипотезы.

 

Гипотезы используются для упрощения расчетов.

1) гипотеза сплошности – материал конструкции считается однородным и сплошным (без пустот). Т. е. в любой точке объёма тела физические свойства одинаковы.

2) гипотеза изотропности – свойства материала по всем напряжениям одинаковы. Эта гипотеза не приемлема для дерева.

3) гипотеза идеальной упругости – считают, что материал обладает способностью полностью восстанавливать форму и размеры после снятия нагрузок.

4) закон Гука: деформации материала прямо пропорциональны напряжению.

5) Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Результат действия на конструкцию системы нагрузок равно сумме результатов действия каждой напряженности в отдельности.

6) гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений). Поперечные сечения бруса плоские до приложения нагрузки остаются плоскими и во время действия нагрузки.

 

Лекция 4.