Брус – тело, одно из измерений, которого длина, значительно больше других. Брус к которому приложена нагрузка перпендикулярно его оси называется балкой, а вдоль оси – стойкой.
Рассмотрим не загруженный внешними нагрузками брус. Между внутренними частицами бруса действуют внутренние силы, если теперь к нему приложить внешнюю нагрузку, то величина внутренних сил изменится, т. е. появятся дополнительные внешние силы.
Сопромат изучает только дополнительные внутренние силы.
Пусть имеем загруженный произвольными силами и находящийся в состоянии равновесия брус.
Мысленно рассечем брус плоскостью перпендикулярно его оси. Отбросим, например, правую часть и рассмотрим равновесие оставшийся левой части. Чтобы эта часть осталась в равновесии, нужно к сечению приложить силы компенсирующие действия внешних сил F1, F2, …, Fk приложенных к левой части. В общем случае все силы, приложенные к сечению приводятся к главному вектору R и главному моменту М.
Через центр тяжести сечения проводят
оси x, y, z. х совпадает с продольной осью
стержня, y – с поперечной.
Разложим R на два направления
N – продольная сила (проекция R на х)
Спроецируем Q на ось y и z.
R = N + Qy + Qz
Главный момент также разложим на две составляющих:
|
|
Момент Мк называется крутящим моментом, а Ми – изгибающим.
Ми разложим на момент относительно оси Мy и Мz. В общем случае в сечении возникает шесть внутренних силовых факторов: три силы (Qy, Qz, N) и три момента (My, Mz, Mk). Для такой системы имеем шесть условий равновесия
Σ x =0, Σ y =0, Σ z =0,
Σ m x =0, Σ m y =0, Σ m z =0.
Примечание: в этих условиях равновесия учитывают внешние и внутренние силы, действующие только на одну часть бруса.
Если из шести факторов, все кроме N= 0, то считают, что брус находится в состоянии растяжения или сжатия. Если Mz и Qy не равняются нулю, а остальные усилия равняются нулю, то имеем поперечный изгиб в плоскости xy.
Другие комбинации внутренних факторов приводят к другим напряженным состояниям (продольный изгиб, кручение, внецентренное растяжение сжатие и т. д.)
Вывод: Внутренние силовые факторы определяются по внешним силам приложенных к определённой части графическим путем составления и решения условий равновесия.
Напряжения.
Внутренние силы в действительности не являются сосредоточенными. Они действуют по площади поперечного сечения с интенсивностью Р = lim DR / DA.
| DR – равнодействующая внутренних сил на площадкеDА. Разложим DR на два напря- жения: нормаль к площадки и получим век- тор DN; и касательную сечения. Тогда lim DN / DA = σ - нормальное напря- жение. lim DT / DA = t - касательное напря- жение. Размерность напряжения [ Н/м2, кН/м2, Па, Мпа, кг/м2 ]. От величин σ и t зависит прочность кон- струкции и всего сооружения. Найдем зави симость между напряжением и внутренними силовыми факторами. | 
|
Для этого рассмотрим элементарную площадку DА поперечного сечения бруса A. По площадке действуют σ и t напряжения. Разложим t на составляющие ty и tz . тогда на площадке DА действуют элементарные сосредоточенные силы σdA, tydA, tzdA. Определим проекции всех сил на оси, а также моменты относительно всех осей.
å x = ò d dA = N – продольная сила
å y = ò ty dA = Qy – поперечная сила
å z = ò tz dA = Qz – поперечная сила
å mx = ò ty dA z - ò ty dA y = Mk
å my = ò z σ dA = My – изгибающий момент относительно оси y
å mz = ò y σ dA = Mz - изгибающий момент относительно оси z
Деформации.
Изменение форм и размеров конструкции под воздействием нагрузки или температуры называется деформацией.
Рассмотрим точку а внутри тела. Проведем через неё бесконечно малые отрезки, аb = dx; ac = dy.
После приложения к телу нагрузки произойдет изменение формы тела, а данные отрезки займут некоторое новое положение. При этом изменятся их длины и углы. Ddx и Ddy – абсолютные линейные деформации
Ddx / dx = εx - относительная линейная
деформация вдоль оси х
Ddy / dy = εy - относительная линейная
деформация вдоль оси y
gxy – угловая деформация.
Основные гипотезы.
Гипотезы используются для упрощения расчетов.
1) гипотеза сплошности – материал конструкции считается однородным и сплошным (без пустот). Т. е. в любой точке объёма тела физические свойства одинаковы.
2) гипотеза изотропности – свойства материала по всем напряжениям одинаковы. Эта гипотеза не приемлема для дерева.
3) гипотеза идеальной упругости – считают, что материал обладает способностью полностью восстанавливать форму и размеры после снятия нагрузок.
4) закон Гука: деформации материала прямо пропорциональны напряжению.
5) Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Результат действия на конструкцию системы нагрузок равно сумме результатов действия каждой напряженности в отдельности.
6) гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений). Поперечные сечения бруса плоские до приложения нагрузки остаются плоскими и во время действия нагрузки.
Лекция 4.
