Глава 3. Растяжение и сжатие.

 

Если из шести силовых факторов только продольная сила N не равна нулю, то такой вид деформации называется растяжением или сжатием. Если N направлена в сторону от сечения, то имеем растяжение (N>0), а если N направлена к сечению, то сжатие.

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения, загруженного вдоль оси бруса.

 

Расчетная схема бруса

 

Сумма проекций 1-1: åх = 0; F₁ - Nab = 0, Nab - F₁ ab.

 

Сечение 2-2 åх = 0;  F1- F2 – Nbc = 0 Nbc = F1- F2 Сечение 3-3 åх = 0; F1- F2+ F3– Ncd = 0 Ncd = F1- F2+ F3   Эпюра продольных сил N.

 

 

Перейдем от схемы бруса к его расчетной схеме. Для этого заменим брус его осью. Чтобы определить величины продольных сил разложенных сечениях бруса используем метод равновесия дисков. Для этого проводим сечение 1-1 в любом месте между точками А и В. Мысленно отбросим левую часть бруса и рассмотрим равновесие правой части. На основе этих вычислений график изменения продольной силы по длине бруса.

Из эпюры N видно, что величена продольной силы в точке приложения сосредоточенной нагрузки меняется скачкообразно на величину сосредоточенной силы. При действии на брус распределённой нагрузки (например собственный вес) продольная сила изменяется непрерывно. Например: F =10 кН –1 тонна

-(1N = - (10 + 0,5 * 6) = - 13 кН

 

Напряжения поперечных и наклонных сечений бруса.

 

Известно, что нормальная продольная сила поперечного сечения равна

N = ò σ dA, но при центральном растяжении или сжатии нормальное напряжение σ =const. Тогда продольная сила N= ò σ dA = σ A => σ = N/A

Рассмотрим напряжение в наклонных сечениях бруса.

Пусть наклонение сечения расположено под углом a к поперечному сечению.

Отбросим левую часть и рассмотрим равновесие правой. Во всех точках наклонного сечения действуют напряжения Р.     Найдем равнодействующую этих напряжений

 

 

p·А_a =F, где А_a - площадь наклонного сечения.  = cos a 

Если брус прямоугольного сечения, то перейдя к площадям получим       

                                                   

p· А/ cos a = F => p = cos a (F/А); F = N; p = cos a (N/А); p = cos a · σ

Разложим напряжения р на два направления: нормальное σ_a и касательное t_a

 

 

σa = p · cos a = σ cos2 a    ta = p· sin a =s · sin a cos a ta = ½ σ · sin2a

Рассмотрим пределы σ_a и t_a

При a =0 σ_a = σ = max a= p /2; cos a = 0; σ_a = 0.

Вывод: σ_a меняется от 0 до σ.

σ_a - нормальное напряжение по наклонной площадке

t_a - касательное напряжение по наклонной площадке

 Если a=45⁰, то  t_a = d / 2 = max;   a = 0;  t_a =0.

Вывод:  t_a  меняется от - σ / 2 до + σ / 2.

       Продольные и поперечные деформации.

Под действием силы F точка 1 перемещается вправо – точка 1’ Величину перемещения обозна- чим Dе и назовём абсолютным удлинением. Dl/l =e - относительное удлинение. e - является безразмерной величиной Если растяжение, то e >0, при сжатии e < 0. Проанализируем какие факторы влияют на e. Чем больше F, тем больше e. e = F/ ЕА (1).

Чем больше площадка поперечного сечения А, тем меньше e.

Чем больше жесткость материала, тем меньше e.

Жесткость материала характеризуется модулем упругости e (модуль упругости первого рода или модуль Юнга)

ЕА – жесткость при растяжении, сжатии.

Подставим значения N = F в (1), e = N/ ЕА => e = σ/ Е (2) - закон Гука.

Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Сопоставляя, вышестоящие формулы получим:

 Dl/l = N/ ЕА => Dl = N l / ЕА

Абсолютное удлинение Dl прямо пропорционально силе N, длине стержня l и обратно пропорционально жесткости стержня при растяжении - сжатии ЕА.

Модули упругости Е некоторых материалов:

     Сталь         2,1*10⁵ Мпа

     Бетон         (0,15 – 0,23)*10⁵ Мпа

     Дерево      0,1*10⁵ Мпа

Рассмотрим поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии).

`Dh/h = e’ – относительная деформация.

e’ = - μ e

Из опыта установлено, что между e’ и e - прямая зависимость с обратным знаком, где μ – коэффициент Пуассона. μ зависит от вида материала.

Величины  μ  для некоторых материалов:

       Резина                   0,5

       Сталь         0,25 – 0,3

       Бетон         0,17

       Пробка      0