Результаты обработки выборочных значений

	Границы интервалов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	-∞ 72,79 72,79 82,40 82,40 89,32 89,32 95,24 95,24 100,77 100,77 106,30 106,30 112,22 112,22 119,14 119,14 128,40 128,40 ∞	7 12 11 11 8 13 6 12 10 10	49 144 121 121 64 169 36 144 100 100
		100	1048

 

Статистика критерия равна:

χ²=

Из таблицы 4.2 находим критическое значение статистики для k=10 и α=0,1: d₁₀(0,1)=12,384. Так как χ²=4,8<d₁₀(0,1)=12,384, гипотеза нормальности исходного распределения вероятностей не отклоняется.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ РАВЕНСТВА ДВУХ ДИСПЕРСИЙ ПРИ ПОМОЩИ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА [9, 12]

Если выборочными оценками максимального правдоподобия дисперсий являются:

                                         и ,        (4.7)

то статистика критерия Фишера записывается как:

                                        F=                                        (4.8)

В числителе всегда должна стоять большая по величине из двух сравниваемых дисперсий. При справедливости гипотезы: статистика критерия имеет распределения Фишера с  и  степенями свободы, где n и m–объемы сравниваемых выборок.

 

Если:

                               F > и F > ,        (4.9)

 то гипотеза отклоняется в пользу альтернативы: .

Если:

                                    F > ,                         (4.10)

то нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативы: (α-доверительная вероятность).

Критерий Фишера очень чувствителен к отклонениям от нормальности распределения . Его устойчивость к отклонениям от нормальности может быть повышена соответствующей корректировкой степеней свободы. Вместо f₁ и f₂ в этом случае используются степени свободы  и , где                         

                          ,         (4.11)

                           .               (4.12)

В дальнейшем процедура проверки гипотезы не отличается от обычного F–критерия. Критические значения F – статистики приведены в соответствующих таблицах [12].

Пример: Имеются две выборки нормально распределенных случайных величин (n=m=10):

x_i: 2,1; 3,1; 4,8; 6,1; 7,4; 8,5; 10,1; 12,1; 14,0; 15,6;

y_i: 4,6; 6,1; 8,2; 9,8; 9,9; 10,4 13,1; 14,5; 16,1; 19,1.

Необходимо проверить гипотезу равенства дисперсий:  против альтернативы:  при доверительной вероятности α=0,95.

Имеем:

Так как F =1,016 < F_0,975 (9;9)=4,03, нулевая гипотеза не отклоняется.

Рассмотрим теперь критерий со скорректированными степенями свободы. Имеем

Окончательно имеем  и

Из таблиц [8, 12] для дробных степеней свободы и имеем  Так как F=1,016 < нулевая гипотеза не отклоняется и в этом случае.

 

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ РАВЕНСТВА НЕСКОЛЬКИХ ДИСПЕРСИЙ (K > 2) ПРИ ПОМОЩИ КРИТЕРИЯ Кохрана [9, 12]

В литературе [9, 12] рассмотрены различные критерии сравнения нескольких дисперсий, остановимся подробно на критерии Кохрана для случая выборок равных объемов (n_i = n при i=1,2,…,k):

                                         .                                  (4.13)

Если , то нулевая гипотеза отклоняется. Значения приведены в таблице 4.4 [12]. Критические отношения можно найти также, используясь таблицами F – распределения.

Приме: имеются четыре выборки (к = 4) объема n = 5 каждая:

Х_i1: 3, 4, 5, 6, 7;      X_i2: 2, 8, 9, 11, 15;

                   X_i3: 9, 11, 15, 20, 28;  X_i4: 4, 6, 8, 10, 16.

Проверить гипотезу равенства дисперсий критерием Кохрана при доверительной вероятности α=0,95.

Имеем:

Тогда:

Из таблицы 4.4 для n=5, k=4 и α=0,95 имеем

Так как g=0,558< нулевая гипотеза не отклоняется.

Таблица 4.4

Критические значения  статистики Кохрана для доверительной вероятности α=0,95

k	n
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	17	37
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30	0,999 0,993 0,967 0,928 0,883 0,838 0,794 0,754 0,707 0,548 0,480 0,363	0,995 0,942 0,864 0,788 0,722 0,664 0,615 0,573 0,536 0,407 0,330 0,241	0,979 0,883 0,781 0,696 0,626 0,568 0,521 0,481 0,447 0,332 0,265 0,191	0,959 0,833 0,721 0,633 0,563 0,508 0,463 0,425 0,393 0,288 0,229 0,163	0,937 0,793 0,676 0,587 0,519 0,466 0,423 0,387 0,357 0,259 0,205 0,145	0,917 0,761 0,641 0,553 0,487 0,435 0,393 0,359 0,331 0,239 0,188 0,133	0,899 0,733 0,613 0,526 0,461 0,410 0,370 0,338 0,311 0,223 0,175 0,123	0,822 0,711 0,590 0,504 0,440 0,391 0,352 0,321 0,294 0,210 0,165 0,116	0,867 0,691 0,570 0,485 0,423 0,375 0,337 0,307 0,281 0,200 0,157 0,110	0,854 0,673 0,554 0,470 0,408 0,362 0,325 0,295 0,270 0,192 0,150 0,105	0,795 0,606 0,488 0,409 0,353 0,310 0,278 0,251 0,230 0,161 0,125 0,087	0,707 0,515 0,406 0,335 0,286 0,249 0,221 0,199 0,181 0,125 0,096 0,066

4.1.1. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ [12, 13]

Предположим что анализируется влияние фактора А, изучаемого на k уровнях (А₁,А₂,…,А_k). На каждом уровне A_i проведены n наблюдений (x_i1, x_i2,… x_in). Следовательно, на всех k уровнях фактора А произведены k*n наблюдений.

Рассмотрим последовательность проведения дисперсионного анализа. Расположим экспериментальные данные в виде таблицы:

 

Таблица 4.5

Экспериментальные данные

Номер наблюдения	Уровни фактора А
	А1     А2     …     Аi     …     Аk
1 2 . j . n	x11    x21     …     xi1     …     xk1 x12    x22     …       xi2     …     xk2 ...      .…    ...     …       ….      … x1j     x2j…    …      x i j      …    x k j .       . …      ...     …       …     … x1n     x2n …  …      xi n          ….   x k n
	X1      X2        …      Xi     …     Xk

 

Рассмотрим оценки различных дисперсий, возникающие при анализе таблицы результатов наблюдений. Для дисперсии, характеризующей изменение данных на уровне A_i (по строкам таблицы), имеем:

                  .        (4.14)

Из предпосылок дисперсионного анализа следует, что должно иметь место равенство , что проверяется соответствующим критерием сравнения.

При выполнении условия  (при i=1,2,…k) находим оценку дисперсии, характеризующей рассеяние значений x_ij вне влияния фактора А, по формуле:

. (4.15)

Оценка  имеет k*(n-1) степеней свободы.

Общая выборочная дисперсия всех наблюдений равна:

                                              (4.16)

                                                                      (4.17)

                                                                          (4.18)

Следовательно:

               .                     (4.19)

Введем теперь оценку дисперсии  , характеризующей изменение средних , связанное с влиянием фактора А:

                                                             (4.20)

Очевидно, что при оценке   используется (k-1) степеней свободы. Теперь проверка влияния фактора А на изменение средних может быть сведена к сравнению дисперсий  и . Влияние фактора А признается значимым, если значимо отношение  Отношение признается значимым с вероятностью α, если:

                              ,                               (4.21)

где  - α- квантиль F- распределения с степенями свободы.

Для нахождения могут быть использованы специальные таблицы, например, из [2].

Для упрощения вычислений приведем алгоритм их выполнения [12]:

- Вычисляем последовательно суммы:

                                                            (4.22)

                                                               (4.23)

                                                                 (4.24)

- Далее находим:

                                                               (4.25)

                                                                      (4.26)

Сравнением  и , устанавливаем наличие влияние фактора А.

Если:

                     ,                  (4.27)

 то влияние фактора А признается значимым. В ином случае всю выборку наблюдений можно считать однородной с общей дисперсией:

                                 .                               (4.28)

Пример: Провести дисперсионный анализ данных, представленных в таблице 4.6, при доверительной вероятности α=0,95.

Таблица 4.6

Результаты исследования

j	Уровни фактора Аi
	A1	A2	A3	A4	A5
1 2 3 4 5 6	3,2 3,1 3,1 2,8 3,3 3,0	2,6 3,1 2,7 2,9 2,7 2,8	2,9 2,6 3,0 3,0 3,0 2,8	3,6 3,4 3,2 3,3 3,5 3,3	3,0 3,4 3,0 3,5 2,9 3,1
	18,5	16,8	17,4	20,3	19,1

 

Вычисляем:

Далее вычисляем дисперсии:

Из таблиц для f₁=k-1=4 и f₂=k(n-1)=25 находим F_0,95(4;25)=2,8. Так как >F_0,95(4;25)=2,8, влияние фактора А на поведение наблюдаемых случайных величин следует признать значимым.