Определение коэффициентов уравнения регрессии

Рассмотрим определение коэффициентов уравнения регрессии для трехфакторной модели [2, 10]:

                             (3.13)

Следовательно, любые коэффициенты уравнения определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец Х_i.

Можно показать, что аналогичным образом определяются коэффициенты, если в уравнении регрессии учитываются линейные взаимодействия (двойные, тройные и т.д.):

                                      (3.14)

Следует обратить особое внимание на то, что все линейные коэффициенты независимы, так как в формулы для их расчета (3.13), (3.14) входят свои одноименные переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе или силу влияния фактора. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает этот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора отклик увеличивается, а если минус - уменьшается.

В результате определения уравнения регрессии может получиться так, что один (или несколько) коэффициентов не очень большие и окажутся незначимыми. Факторы, имеющие коэффициенты, незначимо отличающиеся от нуля, могут быть выведены из состава уравнения, так как влияние на параметры отклика будет отнесено к ошибке эксперимента. Учитывая ортогональность плана, оставшиеся коэффициенты уравнения регрессии можно не пересчитывать. При отсутствии ортогональности плана эксперимента все коэффициенты необходимо пересчитывать заново.

Рассмотрим пример статистической обработки результатов полного двухфакторного эксперимента [2, 9, 10].

 

 

Таблица 3.2

План полного двухфакторного эксперимента

Номер опыта	Факторы				Функция отклика
	X0	X1	X2	X1*X2
1	+	-	-	+	Y1э
2	+	+	-	-	Y2э
3	+	-	+	-	Y3э
4	+	+	+	+	Y4э

 

Для полного двухфакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:

                   Y^т=b₀+b₁*X₁+b₂*X₂+b₁₂*X₁*X₂                 (3.15)

По таблице 3.2 находим коэффициенты регрессии:

                          b₀=y₁^э+y₂^э+y₃^э+y₄^э,                            (3.16)

                   b₁=(-1)*y₁^э+(+1)*y₂^э+(-1)*y₃^э+(+1)*y₄^э,    (3.17)

                  b₂=(-1)*y₁^э+(-1)*y₂^э+(+1)*y₃^э+(+1)*y₄^э,   (3.18)

                  b₁₂=(+1)*y₁^э+(-1)*y₂^э+(-1)*y₃^э+(+1)*y₄^э.  (3.19)

Значения коэффициентов указывают на силу влияния факторов на функцию цели. Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Для установки факта незначимости коэффициента необходимо вычислить оценки дисперсии, с которой они определялись [2, 10, 11]:

                                     ,                                 (3.20)

                                   ,                            (3.21)

где k – число параллельных опытов.

Построчные (выборочные) дисперсии подсчитываются по формуле:

                                ,                     (3.22)

где  - средний отклик по k опытам в точке с номером j.

С оценками дисперсий  и  связывают число степеней свободы:

                                  f_воспр=N(k-1).                            (3.23)

Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие [2, 9, 10, 11]:

                                 ,                                (3.24)

где  - значение критерия Стьюдента, которое находят по таблицам; индекс α – заданная доверительная вероятность;

 n= f_воспр=N(k-1).

В противном случае коэффициент незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии.

Далее следует проверить адекватность полученного уравнения регрессии.

Под адекватностью в данном случае понимают способность построенной математической модели соответствовать результатам эксперимента с заданной степенью точности. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера [2, 9, 10, 11]:

                                  ,                                 (3.25)

где - оценка дисперсии адекватности.

                            , где                          (3.26)

,  - экспериментальные и расчетные значения функции отклика в j–ом опыте; N–число опытов ПФЭ; n–число факторов; k–число параллельных опытов.

С дисперсией адекватности (3.26) связывают число степеней свободы:

                                      f_ад=N-(n+1).                                     (3.27)

По таблицам для критерия Фишера, зная f_воспр и f_ад определяют табличное значение F_T. Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

                                          F_p≤F_T.                                   (3.28)

Функция цели Y^т найдена для кодированных факторов, далее можно перейти обратно к натуральным значениям данных факторов.

 

3.2.3. МЕТОД ДРОБНЫХ РЕПЛИК [2, 10]

Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получать в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения при минимальном числе экспериментов. Так, для трех факторов вместо уравнения (3.5) достаточно рассмотреть уравнение вида:

                                           (3.29)

и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов k. Если при решении задачи можно ограничиться линейным приближением, то в ПФЭ оказывается много «лишних» опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8.

Так, для определения коэффициентов уравнения (3.28) достаточно ограничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 2³ использовать х₁х₂ в качестве плана для х₃, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в таблице 3.3.

 

Таблица 3.3