Дисперсионный анализ нормально распределенных случайных величин

Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, с целью выбора наиболее значимых факторов и оценки их влияния на исследуемый процесс.

Влияние различных факторов на изучаемые случайные величины (например, влияние режима нагрузки на долговечность технического изделия) приводит к изменению значений параметров распределения вероятностей этих величин – среднего, дисперсии или моментов более высокого порядка.

С помощью дисперсионного анализа устанавливаются изменения дисперсии результатов эксперимента при изменении уровней изучаемого фактора. Если дисперсии будут отличаться значимо, то следует вывод о значимом влиянии фактора на среднее значение наблюдаемой случайной величины.

Классические методы дисперсионного анализа основываются на следующих предпосылках: распределение исходных случайных величин нормально; дисперсии экспериментальных данных одинаковы для всех условий эксперимента (т.е. для экспериментов, выполненных на различных уровнях изучаемого фактора).

Поэтому, при проведении дисперсионного анализа следует предварительно проверить нормальность распределения изучаемой случайной величины и неразличимость дисперсий изучаемых совокупностей.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПРИ ПОМОЩИ МОДИФИЦИРОВАННОГО КРИТЕРИЯ Χ² [9, 12]

С помощью данного критерия оцениваются параметры распределения по негруппированной выборке. После оценки параметров распределения совокупность выборочных данных разбивается на k равновероятных интервалов () и статистика критерия подсчитывается по формуле:

                                                                           (4.1)

где n – объем выборки; m_i – количество членов выборки, попавшее в i-й интервал.

Границы интервалов определяются следующим образом:

                                                                           (4.2)

                                    где                                       (4.3)

                              и .                               (4.4)

Значение коэффициентов c_i приведены в таблице  4.1 [4]. Следует помнить, что с₀=-∞ и с_k=∞.

Таблица 4.1

Значения коэффициентов c_i модифицированного χ²- критерия нормальности для k =3 15

Так как c_i симметричны относительно нуля, то недостающие знаки c_i можно найти из соотношений:

                  для нечетных ;  (4.5)

                  для четных .            (4.6)

Если χ² > d_k(α), где d_k(α) – критическое значение статистики критерия на уровне значимости α, то гипотеза нормальности отклоняется. Критические значения d_k(α) приведены в таблице 4.2 [12].

Таблица4.2