При активном эксперименте математическая статистика используется уже на стадии постановки и планирования эксперимента, в отличие от пассивного, где математическая статистика не используется на стадии постановки эксперимента.
Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации, но это требует много времени и затрат больших средств. Инструменты математической статистики позволяют, активно вмешиваться в ход технологического процесса (экспериментального исследования): «разбалтывать» его тихонько, но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию.
Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого английского ученного Р. Фишера в 30-х годах ХХ столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было развито в пятидесятых годах в США Дж. Боксом и его сотрудниками. Отечественные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента, предложив ряд новых методов, а инженеры-исследователи все шире применяют эти методы на практике.
Под математической теорией эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, а так же инженерных расчетов.
Принятая терминология – это либо перевод терминов с английского, либо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь в ввиду при чтении литературы по теории планирования экспериментов.
Истинный вид функции отклика y=f(x1,…, xi,…,xk) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи, с чем для математического описания поверхности отклика используют уравнение [2, 9]:
(3.1)
где хi, хu – переменные факторы при i=1,…, k; u=1,…, k; i≠u;
- коэффициенты.
Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки xi=xi0.
На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов β, и данный полином заменяется уравнением вида:
(3.2)
которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении 
означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е.:
(3.3)
В регрессионной модели члены второй степени xixu, xi2 характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью.
Последовательность активного эксперимента заключается в следующем [2, 10]:
1) разрабатывается схема проведения исследований, т.е. выполняется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия;
2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, т.е. осуществляется сам активный эксперимент;
3) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений.
Таким образом, планирование эксперимента – это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью.
Использование теории планирования эксперимента обеспечивает:
1) минимизацию, т.е. предельное сокращение необходимого числа опытов;
2) одновременное варьирование всех факторов;
3) выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;
4) минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок.
ПЛАНИРОВАНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии имеет вид [2, 10, 11]:
(3.4)
Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид:
(3.5)
где коэффициенты регрессии b0, b1,…,b3,…, b123 являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, т.е.:
(3.6)
Члены, содержащие произведения х1*х2; х2*х3 и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены вида х1*х2*х3 – членами тройного взаимодействия.
