Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также
(1.12)
Точки, в которых равенство (1.12) не выполняется, называются точками разрыва функции. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х 2 – х 1, а за D f (x) разность между двумя значениями функции D f (x) = f (x 2) - f (x 1). Тогда, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если D х ® 0, то и D f (x) ® 0.
Введем понятие односторонних пределов. Число А называется пределом функции f (x) слева, если х ® x 0 оставаясь все время меньше х 0 (x < x 0). Запись предела слева
Аналогично вводится понятие предела справа, в этом случае х ® x 0 оставаясь все время больше х 0 (x > x 0). Запись предела справа
Для непрерывной функции предел слева совпадает с пределом справа и равен значению функции в точке х 0
= 
= f (x 0).
В точках разрыва цепочка равенств нарушается. Разрыв называется «разрывом первого рода», если все пределы конечны и «разрывом второго рода», если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.
Если хотя бы один из пределов равен бесконечности в точке х = х 0, то говорят, что в этой точке есть вертикальная асимптота. Функция, имеющая на конечном промежутке конечное число разрывов первого рода называется кусочно непрерывной.
Все элементарные функции, а также любая их комбинация непрерывны в своей области определения.
Пример 1. Найти точки разрыва функции.
если 
Решение. На интервалах 
, 
и 
функция непрерывна. Проверке подлежат только точки 
и 
.
Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.
Рассмотрим точку 
. 
.
Вычислим односторонние пределы
, 
.
Так как односторонние пределы не совпадают, 
- точка разрыва функции.
Рассмотрим точку 
. 
,
, 
,
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 1.3).
Рис. 1.3.
Пример 2. Исследовать поведение функции 
вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.
Решение. Область определения функции 
Рис. 1.4. Поведение функции в окрестности точки разрыва.
Точка разрыва 
. Найдем односторонние пределы
; 
.
Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель 
, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 1.4.
