Уравнение плоскости проходящей через три данные точки. Из геометрии известно, что через три точки M 0, M 1 и M 2 можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М 0 М, М 0 М 1 и М 0 М 2, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение лежащих в одной плоскости векторов равно нулю (объем пирамиды, построенной на этих векторах равен нулю, см. формулу (3.15)))
М 0 М × М 0 М 1∙ М 0 М 2 = 0, (2.3)
или, в развернутой форме,
=0. (2.4)
Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (рис. 2.3)
Также плоскость L в пространстве можно задать, если известна точка M 0(x 0, y 0, z 0), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор – вектор нормали N. Координаты вектора нормали обозначают А, В, С.
N = { A, В, С }.
Рис. 2.3. Уравнение плоскости проходящей через три данные точки
Уравнение плоскости проходящей через данную точку. Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M (x, y, z) и построить вектор М0М 
L, то векторы N и М0М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю
N × М 0 М =0 Þ A (x – x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0. (2.5)
Это уравнение называется «уравнение плоскости, проходящей через данную точку» (рис. 2.4).
Рис. 4.4. Уравнение плоскости проходящей через данную точку.
Все уравнения плоскости можно свести к виду
Ax + By + Cz + D = 0. (2.6)
Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение
Ax + By + Cz = 0
описывает плоскость, проходящую через начало координат.
Прямую в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнение прямой задаются как система двух уравнений с тремя неизвестными
(2.7)
Если заданы точка 
, лежащая на прямой, и параллельный прямой (направляющий) вектор S = { m, n, p }, то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М0М. Векторы М0М и S параллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат
. (2.8)
Эти уравнения (цепочка равенств) называются каноническими уравнениями прямой (рис.2.5).
Рис. 2.5. Канонические уравнения прямой.
Если прямая проходит через две известные точки и 
, то вектор М0М 1 является направляющим вектором S = М0М 1 = 
, т.е. 
. Подставляя в уравнение (2.8), получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки
(2.9)
Обозначив в (2.8) общее отношение за t, и сделав несложные преобразования, получим параметрические уравнения прямой
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1(1,-2,-3), А 2(-3,1,1), А 3(4,3,-1), А 4(3,2,2).
Составить: 1. Уравнение плоскости 
,
2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А 4 на грань 
.
Решение.
1. Уравнение плоскости запишем, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
.
Подставив координаты точек А 1, А 2, А 3, получим
= 
Разложив последний определитель по элементам первой строки, вычислим
Или
Раскрывая скобки, получим уравнение плоскоси
.
2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонических уравнений прямой (5.8), проходящей через заданную точку А 4 с известным направляющим вектором S. За направляющий вектор S возьмем нормальный вектор N плоскости , т.е. N = {14, -20, 29}.
Уравнение высоты: 
.
Примечание. Если бы в уравнении прямой один из знаменателей оказался нулевым, например
,
то уравнение прямой следовало бы записать в виде пересекающейся системы плоскостей (общие уравнения прямой)
Если в уравнении прямой два знаменателя обратились в ноль, например,
,
это означало бы, что прямая является пересечением плоскостей 
и 
и ее общим уравнением будет система
Математический анализ.
Введение в анализ
