Если длина отрезка а равна х, то мы писали а = xe, где е – единичный отрезок. Для направленных отрезков, лежащих на одной и той же прямой, мы также будем писать а = х · е, считая, что х > 0, если отрезки а и е одинаково направлены, и х < 0, если их направления противоположны (в обоих случаях | х| равен длине отрезка а при единице измерения е). Если е = y · f, где f – новый единичный отрезок, у – это число, модуль которого равен длине отрезка е при единице измерения f, то а = х (уf). Определим произведение чисел х и у как такое число z, что а = zf, т.е. положим, что z = ху в том и только в том случае, когда z · f = х (уf).
Чтобы выяснить, как получить х · у, если заданы числа х и у, заметим, что в силу свойства мультипликативности длина отрезка а при единице измерения f равна | х | · | у |. Направления же отрезков а и f совпадают, если знаки чисел х и у одинаковы, и противоположны, если эти знаки различны. Например, если х < 0 и у < 0, то отрезки а и е имеют противоположные направления, равно как и отрезки e и f, а потому направления отрезков а = [ ОА ] и f = [ OF ] совпадают (рис. 1а).
e f f e
E O F A F O E A
а) б)
Рис. 1
Если же х > 0 и y < 0, то направления отрезков а = [ ОА ] и е = [ ОЕ ] совпадают, а отрезков е и f = [ ОF ] противоположны, а потому направления отрезков а и f противоположны (рис. 1б).
Из сказанного выше следует, что произведение действительных чисел определяется следующим образом.
Произведением чисел х и у называется число z, модуль которого равен произведению модулей множителей, | z | = | x | ·| y |, а знак положителен, если знаки множителей одинаковы, и отрицателен в противном случае. Для любого числа x имеем x ·0 = 0 · x = 0.
Легко доказать, что и в множестве R умножение обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности относительно сложения. Свойством сократимости оно уже не обладает, т.к. из zx = zy нельзя сделать вывод, что x = y; может случиться, что z = 0, но x ≠ y, тогда всё равно zx = zy = 0. Если же z ≠ 0, то из zx = zy следует x = y. Таким образом, равенства можно сокращать лишь на отличные от нуля числа.
Если x отлично от нуля, то для любого у Î R найдется такое z, что y = xz. Это число называют частным от деления у на х и обозначают у: х. Таким образом, в R определено деление на любое число, отличное от нуля.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Каким числом (рациональным и иррациональным) является значение выражения 
2. Истинно ли высказывание:
«Каждое из десятичных приближений числа х является рациональным числом, хотя само число x может быть и иррациональным»?
3. Найдите три первых десятичных знака суммы х + у, разности х – у, произведения х · у, частного х: у, если х = 1,73205..., у = 1,41421...
4. Вычислите 
.
КУРС 5 СЕМЕСТР
