С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, объема, массы и т.д. Но на практике часто бывает нужно выразить числом не только результат измерения величины, а ее изменение, т.е. показать, на сколько изменилась эта величина. Изменение величины может идти в двух направлениях – она может как увеличиваться, так и уменьшаться, а может и остаться неизменной. Потому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел, нужны иные числа, нужно расширить множество R +. Мы расширим его, присоединив к нему 0 (нуль) и отрицательные числа.
Итак, возьмем множество R + положительных действительных чисел и поставим в соответствие каждому числу х из R + новое число, которое будем обозначать – х (читается «минус х» ). Например, числу 5 ставится в соответствие число –5, числу 8,14 – число –8,14 и т.д. Числа вида – х, где х Î R +, назовем отрицательными числами, а их множество обозначим R – . Кроме того, возьмем число 0. Объединение множеств R +, R – и {0} называется множеством действительных чисел и обозначается R. Таким образом,
R = R + 
R – {0},
причем множества R + и R – и {0} попарно не пересекаются (ни одно число не может быть сразу и положительным, и отрицательным или и положительным и нулем).
Если величина имела значение х, а потом приняла значение у, где x и у принадлежат R +, то при х<у ее значение выражается положительным числом y – х (например, если значение величины было 6, а стало 10, то она изменилась на 10 – 6, т.е. на 4). Если же х > у, то будем говорить, что величина изменилась на отрицательное число –(х – у) (например, если значение величины было 6, а стало 2, то она изменилась на – (6 – 2), т.е. на –4). Таким образом, сказать, что величина изменилась на – а равносильно тому, чтобы сказать, что она уменьшилась на а.
Подобно тому как положительные действительные числа изображаются точками координатного луча, произвольные действительные числа изображаются точками координатной прямой. При этом положительные и отрицательные числа изображаются точками двух противоположных лучей, а число 0 – общим началом О этих лучей.
Числа x и – x, где х Î R +, изображаются точками координатной прямой, симметрично расположенными относительно начала отсчета О. Эти числа называют противоположными друг другу, причём считают, что –(– x) = x. Например, –(–6) = 6. Число 0 считают противоположным самому себе, –0 = 0.
Расстояние от начала отсчета до точки координатной прямой, изображающей число x, называют модулем этого числа и обозначают | x |. Таким образом,
Например, |12| = 12; |–9| = 9; |0| = 0.
Пусть при изменении на а Î R число х Î R + перешло в число
y Î R +. Тогда скажем, что действительному числу а соответствует пара положительных действительных чисел (х; у). Например, пара
(7; 2) соответствует действительному числу –5, так как при изменении на –5 число 7 переходит в число 2, а пара (3; 8) соответствует числу 5, так как при изменении на 5 число 3 переходит в число 8.
Заметим, что одному и тому же действительному числу соответствует бесконечное множество пар. Например, числу 4 соответствуют такие пары, как (1; 5), (1,5; 5,5), (2; 6) и т.д., числу –3 – пары (4; 1). (10; 7), (29; 26) и т.д. Выясним, когда две пары (х 1; у 1), (х 2; у 2)соответствуют одному и тому же действительному числу а. Если число а положительно, то это будет, когда у 1 = x 1+ а и у 2 = x 2+ а. Но в этом случае x 1 + у 2 = x 1 + (x 2+ а) = (x 1+ а) + x 2 = = y 1 + x 2. Если же а отрицательно, то y 1 = x 1 – (– а) и у 2 = x 2 – (– a), и потому x 1 = y 1 + (– a), x 2 = у 2 + (– a);вэтом случае тоже x 1 + у 2 = x 2 + y 1.Аналогично разбирается случай а = 0. Во всех случаях пары (х 1; у 1) и (х 2; у 2)соответствуют одному и тому же действительному числу а в том и только в том случае, когда x 1 + y 2 = x 2 + y 1.
Поэтому понятие действительного числа можно определить и через пары положительных чисел. Для этого возьмем декартов квадрат R 2+ множества R +, т.е. множество пар вида (х; у), где х Î R +, y Î R +. Скажем, что пара (х 1; у 1) эквивалентна паре (х 2; у 2) (обозначается
(х 1; у 1) ~ (х 2; у 2)), если x 1 + y 2 = = x 2 + y 1. Легко проверяется, что отношение (х 1; у 1) ~ (х 2; у 2)обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а потому задаёт разбиение множества R + на классы эквивалентных пар. Каждый такой класс и называют действительным числом. При этом, если х < у, то число, соответствующее паре (х; у), равно у – х и положительно, а если х > у, то это число, равно –(х – у) и отрицательно. Наконец, если х = у, то паре (х; у) соответствует число 0.
Каждую пару (х; у) можно изобразить направленным отрезком на числовом луче, имеющем начало х и конец у (для простоты речи обозначают через х точку с координатой х). Эквивалентным парам соответствуют отрезки, имеющие одинаковую длину и одинаковое направление. Назовем такие направленные отрезки эквивалентными. Тогда можно сказать, что действительное число изображает класс эквивалентных направленных отрезков.
