Эквивалентные (равные) дроби являются различными записями одного и того же положительного рационального числа. Например, эквивалентные дроби 
, 
, 
, …, 
, … – это различные записи одного и того же положительного рационального числа. Заметим, что = Û p × (кn) = n × (кp).
Следовательно, два положительных рациональных числа
а 1 = и а 2 = 
равны тогда и только тогда, когда равны натуральные числа pt и sn.
Отношение равенства дробей обладает следующими свойствами:
10. (" а, в Î N) [ 
= ] – рефлексивностью,
20. (" а, в, с, d Î N) [ = 
Þ = ] – симметричностью,
30. (" а, в, с, d, m, n Î N) [ = Ù = 
Þ = ] – транзитивностью.
Перейдем к рассмотрению отношения «больше» (>) в множестве положительных рациональных чисел.
Пусть а 1 = , а 2 = , где p, n, s, t Î N, тогда а 1 > а 2 Û pt > ns. Докажем это. Пусть 
, покажем, что тогда pt > ns. Дроби и приведём к общему знаменателю: 
и 
, так как > Û > (каждую дробь заменим равной ей), то pt > ns так как дроби теперь с одинаковыми знаменателями.
Обратно. Пусть теперь pt > ns, докажем, что > .
Разделим обе части данного неравенства на nt (оно ведь по свойству неравенств не нарушится). Получим > 
Û > .
Теперь мы можем сказать, какое из двух неравных положительных рациональных чисел больше другого, т.е. на множестве Q + введено отношение «больше», которое обладает следующими свойствами:
1°. линейность: (" а 1, а 2 Î Q +) имеет место только одно из трёх соотношений: а 1 = а 2, либо а 1 > а 2, либо а 1 < а 2;
2°. транзитивность (" а 1, а 2, а 3 Î Q +) [ a 1 > a 2 Ù a 2 > a 3 Þ a 1 > a 3];
3°. антисимметричность: (
а 1, а 2 Î Q +), для которых одновременно выполняются a 1 > a 2 и а 1 < а 2.
Значит, введённое отношение является отношением линейного порядка и, следовательно, множество Q + линейно упорядочено.
Отношение порядка в Q + обладает еще двумя свойствами:
1) в множестве Q + нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;
2) множество Q + «плотно в себе».
Докажем 1). В самом деле, пусть а – какое-нибудь число из множества Q +. Представим его в виде дроби 
, p, n Î N. Но тогда дробь 
– запись числа, меньшего, чем а. Пусть теперь в какое-нибудь число из множества Q +, представим его в виде дроби 
, здесь
s, t Î N. Но тогда дробь 
– запись числа, большего, чем в.
Докажем свойство 2) в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Между двумя любыми положительными рациональными числами а 1 и а 2 (а 1 < а 2) существует положительное рациональное число а 3, такое, что а 1 < а 3 < а 2.
Доказательство. По условию теоремы а 1 < а 2. Между этими числами существует по крайней мере одно положительное рациональное число, большее, чем а 1, но меньшее, чем а 2 и равное 
, т.к. операции сложения и деления не выводят нас из множества Q +. Далее между положительными рациональными числами а 1и 
существует по крайней мере одно положительное рациональное число, равное 
и так далее. Т.е. между любыми двумя числами из множества Q + расположено бесконечное множество положительных рациональных чисел, т.к. описанный выше процесс может быть продолжен неограниченно.
Отметим еще одно свойство множества Q +. Покажем, что множество Q + счетно.
Теорема 2. Множество Q + счетно.
Доказательство. Представим каждое рациональное число в виде дроби. Назовем высотой рационального числа сумму его числителя и знаменателя. Расположим все рациональные числа в порядке возрастания высоты, а числа одной и той же высоты – в порядке возрастания числителя. Покажем биективное отображение множества Q + в множество N. Нумерацию чисел из Q + проведем по следующей схеме:
| Q +: | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| … |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| N: | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8, | 9, | … |
Но мы знаем, что каждое положительное рациональное число бесконечно многими способами может быть представлено в виде дроби , m, п Î N, например, 
=…. Поэтому, если мы перенумеруем все дроби, как указано на схеме, то тем более окажутся перенумерованными все числа Q +. При этом каждому натуральному числу будет поставлено в соответствие одно и только одно рациональное число. А это говорит о том, что множество Q +является счетным.
Таким образом, множество Q + является линейно упорядоченным, плотным в себе и счетным.
§ 3. Аксиоматическое построение теории Q+
Рассмотрим теорию Q +, которая носит название аксиоматической теории положительных рациональных чисел т.к. в ее основе лежит система аксиом, которым должны удовлетворять эти числа. Эта система аксиом приведена ниже.
Аксиома 1. Множество Q + содержит множество N натуральных чисел.
Аксиома 2. В множестве Q + определена операция сложения, которая ставит в соответствие любым двум числам а и в из Q + число
а + в того же множества, называемое суммой чисел а и в. На подмножестве N операция сложения совпадает с определенной в N.
Аксиома 3. Операция сложения в множестве Q + коммутативна, ассоциативна и сократима.
Аксиома 4. (" а Î Q +) ($ p, n Î N) [ na = p ].
Аксиома 5. (" p, n Î N) ($ a Î Q +) [ na = p ].
Аксиома 6. (" a, в, n Î Q +) [ na = nв Þ а = в ].
Можно доказать, что эта система аксиом непротиворечива и однозначно определяет множество Q + и операцию сложения в нем.
Для этого, пользуясь аксиомой 4, поставим в соответствие каждому положительному рациональному числу а все пары натуральных чисел (p; n), таких что, na = p, т.е. дроби , и покажем, что тем самым каждому числу а Î Q + соответствует совокупность эквивалентных дробей. После этого можно доказать, что операция сложения в Q + сводится к обычному сложению дробей. Это показывает, что заданная система аксиом определяет Q + и операцию сложения в Q + однозначно. Непротиворечивость системы аксиом 1-6 доказывается путем построения модели, в которой числа реализуются как совокупности эквивалентных дробей.
Множество Q + положительных рациональных чисел по сравнению с множеством натуральных чисел является более «богатым». Но мы не можем сказать, что в Q + больше элементов, чем в N, ибо как Q +, так и N – бесконечные множества. «Богатство» множества Q + заключается в возможности выполнения не только сложения и умножения, но и деления.
