Отношения «равно» и «больше» в множестве положительных рациональных чисел. Основные свойства множества положительных рациональных чисел

Эквивалентные (равные) дроби являются различными записями одного и того же положительного рационального числа. Например, эквивалентные дроби , , , …, , … – это различные записи одного и того же положительного рационального числа. Заметим, что  =  Û p × (кn) = n × (кp).

Следовательно, два положительных рациональных числа

а ₁ =   и а ₂ =  равны тогда и только тогда, когда равны натуральные числа pt и sn.

Отношение равенства дробей обладает следующими свойствами:

1⁰. (" а, в Î N) [ = ] – рефлексивностью,

2⁰. (" а, в, с, d Î N) [ = Þ = ] – симметричностью,

3⁰. (" а, в, с, d, m, n Î N) [ = Ù = Þ = ] – транзитивностью.

Перейдем к рассмотрению отношения «больше» (>) в множестве положительных рациональных чисел.

Пусть а ₁ = , а ₂ = , где p, n, s, t Î N, тогда а ₁ > а ₂ Û pt > ns. Докажем это. Пусть , покажем, что тогда pt > ns. Дроби  и  приведём к общему знаменателю:  и , так как > Û >  (каждую дробь заменим равной ей), то pt > ns так как дроби теперь с одинаковыми знаменателями.

Обратно. Пусть теперь pt > ns, докажем, что > .

Разделим обе части данного неравенства на nt (оно ведь по свойству неравенств не нарушится). Получим > Û > .

Теперь мы можем сказать, какое из двух неравных положительных рациональных чисел больше другого, т.е. на множестве Q ₊ введено отношение «больше», которое обладает следующими свойствами:

1°. линейность: (" а ₁, а ₂ Î Q ₊) имеет место только одно из трёх соотношений: а ₁ = а ₂, либо а ₁ > а ₂, либо а ₁ < а ₂;

2°. транзитивность (" а ₁, а ₂, а ₃ Î Q ₊) [ a ₁ > a ₂ Ù a ₂ > a ₃ Þ a ₁ > a ₃];

3°. антисимметричность: (   а ₁, а ₂ Î Q ₊), для которых одновременно выполняются a ₁ > a ₂ и а ₁ < а ₂.

Значит, введённое отношение является отношением линейного порядка и, следовательно, множество Q ₊ линейно упорядочено.

Отношение порядка в Q ₊ обладает еще двумя свойствами:

1) в множестве Q ₊ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;

2) множество Q ₊ «плотно в себе».

Докажем 1). В самом деле, пусть а – какое-нибудь число из множества Q ₊. Представим его в виде дроби , p, n Î N. Но тогда дробь  – запись числа, меньшего, чем а. Пусть теперь в какое-нибудь число из множества Q ₊, представим его в виде дроби , здесь
s, t Î N. Но тогда дробь  – запись числа, большего, чем в.

Докажем свойство 2) в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Между двумя любыми положительными рациональными числами а ₁ и а ₂ (а ₁ < а ₂) существует положительное рациональное число а ₃, такое, что а ₁ < а ₃ < а ₂.

Доказательство. По условию теоремы а ₁ < а ₂. Между этими числами существует по крайней мере одно положительное рациональное число, большее, чем а ₁, но меньшее, чем а ₂ и равное , т.к. операции сложения и деления не выводят нас из множества Q ₊. Далее между положительными рациональными числами а ₁и  существует по крайней мере одно положительное рациональное число, равное  и так далее. Т.е. между любыми двумя числами из множества Q ₊ расположено бесконечное множество положительных рациональных чисел, т.к. описанный выше процесс может быть продолжен неограниченно.

Отметим еще одно свойство множества Q ₊. Покажем, что множество Q ₊ счетно.

Теорема 2. Множество Q ₊ счетно.

Доказательство. Представим каждое рациональное число в виде дроби. Назовем высотой рационального числа сумму его числителя и знаменателя. Расположим все рациональные числа в порядке возрастания высоты, а числа одной и той же высоты – в порядке возрастания числителя. Покажем биективное отображение множества Q ₊ в множество N. Нумерацию чисел из Q ₊ проведем по следующей схеме:

Q +:										…
N:	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	…

Но мы знаем, что каждое положительное рациональное число бесконечно многими способами может быть представлено в виде дроби , m, п Î N, например, =…. Поэтому, если мы перенумеруем все дроби, как указано на схеме, то тем более окажутся перенумерованными все числа Q ₊. При этом каждому натуральному числу будет поставлено в соответствие одно и только одно рациональное число. А это говорит о том, что множество Q ₊является счетным.

Таким образом, множество Q ₊ является линейно упорядоченным, плотным в себе и счетным.

§ 3. Аксиоматическое построение теории Q₊

Рассмотрим теорию Q ₊, которая носит название аксиоматической теории положительных рациональных чисел т.к. в ее основе лежит система аксиом, которым должны удовлетворять эти числа. Эта система аксиом приведена ниже.

Аксиома 1. Множество Q ₊ содержит множество N натуральных чисел.

Аксиома 2. В множестве Q ₊ определена операция сложения, которая ставит в соответствие любым двум числам а и в из Q ₊ число
а + в того же множества, называемое суммой чисел а и в. На подмножестве N операция сложения совпадает с определенной в N.

Аксиома 3. Операция сложения в множестве Q ₊ коммутативна, ассоциативна и сократима.

Аксиома 4. (" а Î Q ₊) ($ p, n Î N) [ na = p ].

Аксиома 5. (" p, n Î N) ($ a Î Q ₊) [ na = p ].

Аксиома 6. (" a, в, n Î Q ₊) [ na = nв Þ а = в ].

Можно доказать, что эта система аксиом непротиворечива и однозначно определяет множество Q ₊ и операцию сложения в нем.

Для этого, пользуясь аксиомой 4, поставим в соответствие каждому положительному рациональному числу а все пары натуральных чисел (p; n), таких что, na = p, т.е. дроби , и покажем, что тем самым каждому числу а Î Q ₊ соответствует совокупность эквивалентных дробей. После этого можно доказать, что операция сложения в Q ₊ сводится к обычному сложению дробей. Это показывает, что заданная система аксиом определяет Q ₊ и операцию сложения в Q ₊ однозначно. Непротиворечивость системы аксиом 1-6 доказывается путем построения модели, в которой числа реализуются как совокупности эквивалентных дробей.

Множество Q ₊ положительных рациональных чисел по сравнению с множеством натуральных чисел является более «богатым». Но мы не можем сказать, что в Q ₊ больше элементов, чем в N, ибо как Q ₊, так и N – бесконечные множества. «Богатство» множества Q ₊ заключается в возможности выполнения не только сложения и умножения, но и деления.