Десятичные дроби и операции над ними

В силу того, что для решения задач в практике используется, в основном, десятичная позиционная система счисления, особый интерес и для математической теории представляют те дроби, знаменатель которых является какой-либо степенью числа 10, т.е. дроби вида . Дроби такого вида объединяются в одну группу, и их называют десятичными дробями.

Распространим запись натурального числа в десятичной позиционной системе счисления на дроби, имеющие знаменателем степень числа 10. Нам известно, что любое натуральное число п можно записать так: n = a_k × 10 ^k + a_{k -1} × 10 ^{k -1} + … + a ₁ × 10¹ + a ₀ × 10⁰, где 0 £ а _i £ 9, a_k ≠ 0.

По аналогии с этой записью составим сумму, включив в нее и отрицательные степени числа 10, т.е.

n = a_k ×10 ^k + a_{k -1} × 10 ^{k -1} + … + a ₁×10¹ + a ₀×10⁰+ (*),

где а_i (i = 0, 1, …, k) и в_j (j = 1, 2, …, е) – цифры, т.е. 0 £ а_i £ 9 (a_k ¹0) и 0 £ в_j £ 9.

П р и м е р. 81,302 = 8 · 10 + 1 + .

Очевидно, что число n, представляющее собой сумму натуральных чисел и обыкновенных дробей, есть положительное рациональное число.

Его записывают так: n = , отделяя запятой целую часть от дробной.

Действительно, если в сумме (*) все слагаемые привести к одному знаменателю и сложить их как обыкновенные дроби, то получим:

,

т.е. Þ n × 10 ^е = ,

значит, n · 10 ^е Î N и можно сделать вывод о том, что, если рассматривать обыкновенные дроби, знаменатель которых есть степень числа 10, то знаменатель в записи положительного рационального числа можно опустить, т. к. его значение точно определяется положением запятой, отделяющей цифры целой части от цифр дробной части, т.е. , причем сохраняется основное свойство десятичной записи числа: из каждых двух соседних цифр правая цифра имеет разрядную единицу в 10 раз меньшую, чем левая.

Таким образом, десятичной дробью называется обыкновенная дробь со знаменателем равным степени 10, записанная в десятичной позиционной системе счисления. Из этого определения вытекает два важных свойства десятичных дробей.

Свойство 1. Умножение десятичной дроби на 10 ^s  достигается переносом запятой на s цифр вправо, а деление десятичной дроби на 10 ^s – переносом запятой на s цифр влево.

Действительно, если записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, т.е.

,

то деление на 10 ^s увеличит знаменатель в 10 ^s раз,т.е. получится знаменатель 10 ^{s + e} , а это значит, в десятичной записи n =  дробная часть должна содержать e + s цифр, т.е. запятая окажется перенесенной на s цифр влево. Точно так же рассматривается случай переноса запятой при умножении на 10 ^s.

Свойство 2. Если приписать к десятичной дроби любое число нулей справа, или отбросить нули, стоящие в конце десятичной дроби, то значение десятичной дроби не изменится.

Действительно, если к дроби вида n =   приписать несколько нулей, то в записи (*) добавятся новые слагаемые вида , и так далее, которые не изменят значение исходной дроби. Если в записи дроби последними цифрами являются нули, то в записи (*) отбросятся слагаемые, равные 0, что так же не изменит значение исходной дроби.

Свойство 2 позволяет сформулировать правило приведения десятичных дробей к общему знаменателю.

Если у первой дроби после запятой стоит к цифр, а у второй s цифр, причем к < s, то для приведения этих дробей к общему знаменателю, достаточно приписать к первой дроби s – к нулей справа. Тогда у обеих дробей число цифр после запятой будет одинаковым, значит, дроби имеют один и тот же знаменатель.

Таким образом, все десятичные дроби можно считать приведенными к общему знаменателю. Поэтому десятичные дроби легко сравнивать по значению, используя правило сравнения двух обыкновенных дробей с равными знаменателями.

Правило сравнения двух десятичных дробей формулируется так: из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. Из двух десятичных дробей с равными целыми частями больше та, у которой больше первый из неравных десятичных знаков.

П р и м е р.    102,84 > 100,93, т.к. 102 > 100.

                   102,84 < 102,86, т.к. 4 < 6.

Выше сказано, что все десятичные дроби можно считать приведенными к общему знаменателю, что означает, что сложение и вычитание десятичных дробей сводится к соответствующим операциям над их числителями, т.е. к сложению и вычитанию натуральных чисел.

П р и м е р. 23,45 + 11,2441 = 23,4500 + 11,2441 = 34,6941.

Сформулируем правило сложения десятичных дробей.

Для того, чтобы сложить две десятичные дроби нужно:

1) уравнять в этих дробях число десятичных знаков после запятой, приписывая к одной из них справа несколько нулей;

2) не обращая внимания на запятые, сложить полученные при этом натуральные числа;

3) в полученной сумме отделить запятой столько знаков, сколько было отделено в каждом из слагаемых.

Можно произвести сложение десятичных дробей и в «столбик», например, так:

Так как сложение десятичных дробей сводится к сложению натуральных чисел, то сложение десятичных дробей обладает свойством коммутативности и ассоциативности.

Правило вычитания десятичных дробей формулируется аналогично правилу сложения десятичных дробей.

Например, 2,35 – 1,268 = 2,350 – 1,268 = 1,082.

Можно вычитание выполнить и в «столбик».

(Нули не пишем, подразумеваем их наличие).

При выводе правила умножения десятичных дробей воспользуемся известным нам правилом умножения обыкновенных дробей:

.

Сформулируем правило умножения десятичных дробей. Для того, чтобы умножить две десятичные дроби нужно:

1) отбросить в записи данных десятичных дробей запятые;

2) перемножить получившиеся натуральные числа;

3) в произведении отделить запятой столько последних цифр, сколько их было отделено до начала умножения в первом и втором множителе вместе.

Например,

Так как правило умножения десятичных дробей является частным случаем умножения обыкновенных дробей, то умножение десятичных дробей обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

При выводе правила деления десятичных дробей воспользуемся правилом деления обыкновенных дробей.

Обыкновенные дроби делятся так: : = , следовательно, : = = , (s > к).

Сформулируем правило деления десятичных дробей. Для того, чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

1) в делителе перенести запятую в конец числа (отбросить ее), сделать делитель целым;

2) чтобы частное не изменилось, в делимом надо перенести запятую вправо на такое же количество десятичных знаков, какое было в делителе;

3) после этого деление производится обычным способом «углом». Запятая в частном ставится в момент использования всех цифр целой части делимого.

Например. 31,8836: 2,36.