Бесконечные периодические десятичные дроби

Известно, что если знаменатель п несократимой дроби  в своем каноническом разложении имеет простой множитель, не равный 2 и 5, то эта дробь не представима в виде конечной десятичной дроби. Если мы попытаемся в этом случае записать исходную несократимую дробь в виде десятичной, производя деление числителя на знаменатель, то процесс деления закончиться не может, т.к. в случае его завершения через конечное число шагов, мы получили бы в частном конечную десятичную дробь, что противоречит ранее доказанной теореме. Так что в этом случае десятичная запись положительного рационального числа а =  представляется бесконечной дробью.

Например, дробь  = 0,3636.... Легко заметить, что остатки при делении 4 на 11 периодически повторяются, следовательно, и десятичные знаки будут периодически повторяться, т.е. получается бесконечная периодическая десятичная дробь, которую можно записать так 0,(36).

Периодически повторяющиеся цифры 3 и 6 образуют период. Может оказаться, что между запятой и началом первого периода стоит несколько цифр. Эти цифры образуют предпериод. Например,

 = 0,1931818... Процесс деления 17 на 88 бесконечен. Цифры 1, 9, 3 образуют предпериод; 1, 8 – период. Рассмотренные нами примеры отражают закономерность, т.е. любое положительное рациональное число представимо либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

Теорема 1. Пусть обыкновенная дробь несократима и в каноническом разложении знаменателя n есть простой множитель отличный от 2 и 5. Тогда обыкновенная дробь  представима бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Мы уже знаем, что процесс деления натурального числа m на натуральное число n будет бесконечным. Покажем, что он будет периодическим. В самом деле, при делении m на n будут получаться остатки, меньшие n, т.е. числа вида 1, 2,..., (n – 1), откуда видно, что количество различных остатков конечно и потому, начиная с некоторого шага какой-то остаток повторится, что повлечет за собой повторение десятичных знаков частного, и бесконечная десятичная дробь становится периодической.

Имеют место еще две теоремы.

Теорема 2. Если в разложение знаменателя несократимой дроби на простые множители не входят цифры 2 и 5, то при обращении этой дроби в бесконечную десятичную дробь получится чистая периодическая дробь, т.е. дробь, период которой начинается сразу же после запятой.

Теорема 3. Если же в разложение знаменателя входят множители 2 (или 5) или тот и другой, то бесконечная периодическая дробь будет смешанной, т.е. между запятой и началом периода будет несколько цифр (предпериод), а именно столько, каков больший из показателей степеней множителей 2 и 5.

Теоремы 2 и 3 предлагается доказать читателю самостоятельно.