Способы преобразования обыкновенных дробей в десятичные дроби

Нам известно, что не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а лишь такая, в каноническое разложение знаменателя которой входят только 2 и 5.

Рассмотрим способы преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную, когда это возможно.

Существует два способа преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь: способ умножения и способ деления. Сначала рассмотрим оба способа на одних и тех же примерах.

Выразим в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби: , , .

I. Способ умножения:

1) = = = = 0,24;

2) = = = = 0,875;

3) = = = = = 1,10625.

II. Способ деления.

1) 6 25 2) 7 8 3) 177 60

0,24 0,875 1,10625

Таким образом, приходим к следующему выводу. Чтобы выразить несократимую дробь в виде десятичной (если это возможно), поступают следующим образом:

I. По способу умножения. Выделяют целую часть, если дробь больше единицы; разлагают знаменатель на произведение простых множителей; умножают числитель и знаменатель на недостающие до одинакового количества «двоек» (или «пятерок»).

II. По способу деления. Последовательно делят числитель на знаменатель раздробляя каждый остаток на 10 и делят до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. В самом деле .

Определение процента

Известно, что некоторые наиболее употребительные доли единицы получили особые названия: одну вторую назыв ают «половиной», одну третью долю – «третью», одну четвертую – «четвертью»
и т.д.

Одна сотая тоже получила особое название, ее называют процентом.

Итак, дробь – (0,01) называется процентом, ее обозначают 1%.

Употребляется особое название и для тысячных долей: (0,001) называется промилле, ее обозначают 1 . Напомним, что м = 1 см, руб. = 1 коп., ц = 1 кг и др.

Выбор дробей со знаменателем 100 и 1000 оправдан и требованием выражать результаты измерений в одинаковых долях (для удобства сравнения), наличием десятичной системы счисления и метрической системы мер.

Итак, по определению, любая десятичная (и обыкновенная) дробь может быть записана в процентах и обратно, проценты могут быть записаны в виде дроби.

Рассмотрим сначала запись целого числа и десятичной дроби в процентах и обратно, запись процента в виде десятичной дроби.

; ; ;

1% = 0,01; 9% = 0,09; 27% = 0,27.

Выражение обыкновенной дроби в процентах имеет большое значение при вычислении процентного отношения чисел. Рассмотрим сначала случай, когда обыкновенная дробь выражается конечной десятичной дробью. В этом случае обыкновенная дробь обращается в десятичную (путем деления числителя на знаменатель), а потом по числу сотых долей определяется число процентов.

; ; ;

; ; .

Обратно, ; ; ; .

Известно, что не всякая дробь представима в виде конечной десятичной дроби, а лишь такая, в разложении знаменателя которой на простые множители имеются только «двойки» и «пятерки». Рассмотрим на примерах, как записать не представимую в виде конечной десятичной обыкновенную дробь в процентах.

= 0,777...» 77% (с точностью до 1%);

= 8,333...» 833% (с точностью до 1%);

= 0,333...»33,3% (с точностью до 0,1%).

Задача. Дано некоторое число а, требуется найти р % этого числа.

Решение. р % = . Найти числа а – значит число а надо умножить на . Обозначим искомое число х, тогда .

П р и м е р ы.

1) Найти 10% от числа 1250. 2) Найти 60% от числа 1300.

. .

3) Найти 54% от числа 1200. 4) Найти 0,04% от числа 375 руб.

. руб.

5) Найти 22% от числа 50. Это 50 · 0,22 = 11.

6) Книга стоила 15 рублей, цена ее была снижена на 10%. Сколько стоила книга после указанного снижения ее цены?

Решение (1 способ) 10% = 0,1; 15 · 0,1 = 1,5 руб.; 15 – 1,5 = 13,5 руб.;

Решение (2 способ) 10% = 0,1 1 – 0,1 =0,9 15 · 0,9 = 13, 5 руб.

7) Сберкасса выплачивает по денежным вкладам 2% годовых. Какая сумма будет выдана вкладчику через 9 месяцев, если он вложил в сберкассу 4500 руб.?

Решение. Доход вкладчика определяется как 2% от числа 4500 за 9 месяцев (3/4 года), т.е. руб. Вкладчику будет выдано 4500 + 67,5 = 4567 руб.50 коп.

8) За какое время 4500 руб., положенные в сберкассу выплачивающую2% годовых, обратятся в 4545 рублей?

Решение. Определим доход вкладчика 4545 – 4500 = 45 руб. Годовой доход составляет 4500 · 0,02 = 90 руб. Определим, какую часть составляет доход, полученный вкладчиком, от годового дохода = 0,5, т.е. доход получен за 0,5 года = 6 месяцев.

Задача. Известно, что число т составляет р % неизвестного числа. Найти неизвестное число.

Решение. Обозначим неизвестное число через х, тогда по условию задачи:

х · р % = .

П р и м е р ы.

1) Найти число, 35% которого равно 28.

2) Найти число, зная, что 7,2% его составляет 144.

3) Продавец книги сделал скидку на 15%, продав покупателю книгу за 17 рублей. Какова была цена книги?

Решение. По условию задачи покупатель заплатил 85% цены книги, что составляет 17 рублей. Цена книги была равна:

руб.

4) Известно, что 27,2% составляет 40% неизвестного числа процентов. Найти неизвестное число процентов.

Решение. В этой задаче т = 27,2%, р % = 40%, поэтому:

Задача. Известны числа т и а. Определите, сколько процентов составляет число т от числа а.

Решение. Обозначим через х и найдем отношение данных чисел т: а. Выразим полученный результат в сотых долях, затем в процентах:

П р и м е р ы.

1) Найти сколько процентов составляет число 17 от числа 34.

. Или так 17: 34 = 0,5 Þ 50% 0,5 = 50 %.

2) Найти процентное отношение чисел 120 и 40.

120: 40 = 3 = 300%.

3) Найти сколько процентов составляет число 95 от числа 201.

95: 201 = 0,472...» 47,2%.

4) Для строительства дома получили в банке ссуду в 148000 рублей, через 10 месяцев возвратили 149850 рублей. Сколько годовых процентов платили за ссуду?

Решение.

149850 – 148000 = 1850 рублей заплатили за всю взятую ссуду.

1850: 10 = 185 рублей заплатили за 1 месяц.

185 · 12 = 2220 рублей должны были платить за всю ссуду за год.

2220: 148000 = 0,015 = 15% от взятой ссуды платили в год.

5) В мастерской при изготовлении деталей при норме 130 деталей изготовлено 140 деталей за один и тот же срок. На сколько процентов перевыполнено задание?

Решение

(1-й способ)

(с точностью до 0,1%). Задание перевыполнено на 107,7% – 100% = 7,7%

(2-й способ)

140 – 130 =10 на столько деталей перевыполнен план.

10: 130 = 0,077...» 7,7% на столько процентов перевыполнено задание.

6) На фабрике работают 1500 человек, из них 60% женщин, 35% мужчин, остальные ученики. Сколько женщин, мужчин, учеников в отдельности работает на фабрике?

Решение.

1500 · 60% = 1500 · 0,6 = 900 человек (женщин);

1500 · 35% =1500 · 0,35 = 525 человек (мужчин);

100% – 60% – 35% = 5% – учеников;

1500 · 0,05 = 75 человек (учеников).

Для проверки можно вычислить сумму 900 + 525 + 75, она равна 1500.

Лекция 5
Тема: Бесконечные периодические десятичные дроби

План:

§ 1. Бесконечные периодические десятичные дроби.

§ 2. Способы перехода от бесконечных периодических десятичных дробей к дробям обыкновенным