Пусть некоторое число х Î R + сначала изменили на а, а потом на в, причем число х настолько велико, что оба эти изменения не выводят из множества R +. Назовем суммой чисел а и в действительное число, выражающее результирующее изменение. Например, если сначала сделать изменение на 4, а потом на 7, число 12 перейдет сначала в 16, а потом 16 перейдет в 23. Но чтобы 12 перешло в 23, надо изменить его на 11, значит, 4 + 7 = 11, как и должно быть. Если же сначала сделать изменение на –4, а потом на –7, то 12 перейдет сначала в 8; а потом в 1. Но чтобы из 12 получить 1, надо изменить 12 на –11. Отсюда следует, что (–4) + (–7) = –11.
Вообще, если а и в – положительные действительные числа и х > а + в, то при изменении на – в число х – а переходит в (x – а) – в, т.е. в х –(а + в). Но чтобы получить х – (а + в),надо изменить х на –(а + в). Это показывает, что (– а) + (– в) = – (а + в).
Рассмотрим теперь сложение чисел противоположных знаков. Начнем со случая, когда слагаемые – противоположные числа. Очевидно, что если изменить число х сначала на а, а потом на – а, то получим снова х. Иными словами, х + (а + (– а)) = х. Так как, с другой стороны, и х + 0 = х, то надо положить а + (– а) = 0. Итак, сумма противоположных чисел равна нулю.
Теперь найдем сумму а + (– в) в общем случае (мы считаем, что а и в – положительные числа, а потому – в отрицательно). Если а > в, то а = (а – в) + в, и потому а + (– в) = (а – в)+ в + (– в). Но последовательные изменения числа х на а – в, в и – в можно заменить изменением на а – в (изменения на в и – в взаимно уничтожаются). Поэтому положим а + (– в) = а – в, если а > в. Очевидно, что при а > в и (– в) + а = а – в.
Пусть теперь а < в. В этом случае мы имеем – в = (– а)+ (–(в – а)), и потому а + (– в) = а + (– а) + (–(в – а)) = – (в – а). Значит, при a < в надо положить а + (– в) = – (в – а). Тот же результат получится при сложении – в и а: (– в) + а = –(в – а).
Полученные правила сложения действительных чисел можно сформулировать в виде следующего определения.
Определение. При сложении двух действительных чисел одного и того же знака получится число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. При сложении чисел различного знака получается число, знак которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль равен разности большего и меньшего модулей слагаемых. Сумма противоположных чисел равна нулю, а сложение с нулем не меняет числа.
Легко проверить, что сложение в R обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и сократимости. Из данного выше определения видно, что нуль – нейтральный элемент относительно сложения, т.е. 
а + 0= а.
Вычитание в множестве R определяется как операция, обратная сложению. Поскольку каждое число в в R имеет противоположное ему число – в, такое, что в + (– в) = 0, то вычитание числа в равносильно сложению с числом – в: а – в = а + (– в).
В самом деле, для любых а и в имеем:
(а + (– в)) + в = а + ((– в) + в) = а, а это и означает, что а – в = а + (– в).
Для положительных чисел а и в, таких, что а > в, их разность а – в была изменением, при котором в переходит в а. По аналогии с этим назовем для любых действительных чисел а и в число а – в изменением, переводящим в в а. Оно переводит точку 0 в точку а – в. Как и для положительных действительных чисел это изменение геометрически изображается направленным отрезком, идущим из точки в в точку а. Его длина равна расстоянию от начала отсчета до точки а – в, т.е. модулю числа а – в. Мы доказали следующее важное утверждение:
Длина отрезка, идущего из точки в в точку а, равна | а – в |.
Введем в множество R отношение порядка. Будем считать, что а > в в том и только в том случае, когда разность а – в положительна. Легко доказать, что это отношение антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением строгого порядка. При этом для любых а и в из R справедливо одно и только одно из отношений: а = в, а < в, в < а, т.е. отношение порядка в R линейно. Поскольку а – 0 = а, то а > 0, если a Î R +, и а < 0, если а Î R–.
Нетрудно доказать, что если а > в, то для любого с Î R имеем а + с > в + с.
