Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств.
Определение. Суммой целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что n (А) = а, n (В) = в.
Символически это определение можно записать так:
а + в = n (
), где а = n (А), в = n (В) и 
= Æ.
П р и м е р. Объясните, используя определение суммы целых неотрицательных чисел, что 3 + 5 = 8.
Пусть 3 = n (А), где А – любое трехэлементное множество, например, А ={ х, у, z }, 5 = n (В), где В – любое пятиэлементное непересекающееся с А множество, например, В = { а, в, с, d, f }. Найдем = { х, у, z, а, в, с, d, f }. Сосчитаем число элементов в , получим n () = 8. Следовательно, 3 + 5 = 8.
Определение. Операция (правило), посредством которой находится сумма целых неотрицательных чисел а и в, называют сложением, а числа а и в – слагаемыми.
Теорема 1. (" a, в Î N 0) ($! c Î N 0)[ a + в = с ].
Доказательство.
1) Существование суммы.
Пусть а и в – два целых неотрицательных числа, причем а = n (А),
в = n (В), = Æ. Объединение множеств А и В существует, следовательно, существует и целое неотрицательное число с = n (). Т.о. существование суммы доказано.
2) Единственность суммы.
Пусть а и в – два целых неотрицательных числа. Рассмотрим объединение соответствующих им множеств А и В. Так как каждый элемент в объединении множеств выписывается только один раз и порядок элементов в множестве не играет роли, то объединение множеств будет определено единственным образом. Число элементов этого объединения единственное. Следовательно, и сумма двух любых целых неотрицательных чисел будет определяться единственным образом.
Теорема 2. (" a, в Î N 0)[ a + в = в + а ] – коммутативность.
Доказательство. Т.к. = 
, то
.
Теорема 3. (" a, в, c Î N 0) [(a + в) + с = а + (в + с)] – ассоциативность.
Доказательство. По определению суммы
(а + в) + с = n ((A 
B) C) = n (A (B C)) = а + (в + с).
Теорема 4. (" a, в, c Î N 0) [ a < в Þ а + с < в + с ] – монотонность.
Доказательство. Т.к. A Ì B Þ A C Ì В C, то n (A) < n (B) Þ n (A C) < n (B C), что равносильно предложению а < в Þ а + с < в + с.
Контрольные вопросы и упражнения
1. С теоретико-множественных позиций докажите, что «число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в».
2. Используя теоретико-множественное истолкование вычитания и его свойств, решите следующие примеры из начального курса математики:
а) 48 – 30; б)12 – 5; в) (17 – 2) – 5;
г) 84 – (70 – 16); д) 24 + (76 – 28).
3. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств и, используя его, объясните, что:
а) 3 · 4 = 12; б) 4 · 1 = 4; в) 4 · 0 = 0.
