Сложение целых неотрицательных чисел

Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств.

Определение. Суммой целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких,              что n (А) = а, n (В) = в.

Символически это определение можно записать так:

а + в = n (), где а = n (А), в = n (В) и  = Æ.

П р и м е р. Объясните, используя определение суммы целых неотрицательных чисел, что 3 + 5 = 8.

Пусть 3 = n (А), где А – любое трехэлементное множество, например, А ={ х, у, z }, 5 = n (В), где В – любое пятиэлементное непересекающееся с А множество, например, В = { а, в, с, d, f }. Найдем = { х, у, z, а, в, с, d, f }. Сосчитаем число элементов в , получим n () = 8. Следовательно, 3 + 5 = 8.

Определение. Операция (правило), посредством которой находится сумма целых неотрицательных чисел а и в, называют сложением, а числа а и в – слагаемыми.

Теорема 1. (" a, в Î N ₀) ($! c Î N ₀)[ a + в = с ].

Доказательство.

1) Существование суммы.

Пусть а и в – два целых неотрицательных числа, причем а = n (А),
в = n (В),  = Æ. Объединение множеств А и В существует, следовательно, существует и целое неотрицательное число с = n (). Т.о. существование суммы доказано.

2) Единственность суммы.

Пусть а и в – два целых неотрицательных числа. Рассмотрим объединение соответствующих им множеств А и В. Так как каждый элемент в объединении множеств выписывается только один раз и порядок элементов в множестве не играет роли, то объединение множеств будет определено единственным образом. Число элементов этого объединения единственное. Следовательно, и сумма двух любых целых неотрицательных чисел будет определяться единственным образом.

Теорема 2. (" a, в Î N ₀)[ a + в = в + а ] – коммутативность.

Доказательство. Т.к.  = , то

.

Теорема 3. (" a, в, c Î N ₀) [(a + в) + с = а + (в + с)] – ассоциативность.

Доказательство. По определению суммы

(а + в) + с = n ((A B) C) = n (A (B C)) = а + (в + с).

Теорема 4. (" a, в, c Î N ₀) [ a < в Þ а + с < в + с ] – монотонность.

Доказательство. Т.к. A Ì B Þ A  C Ì В  C, то n (A) < n (B) Þ n (A C) < n (B C), что равносильно предложению а < в Þ а + с < в + с.

Контрольные вопросы и упражнения

1. С теоретико-множественных позиций докажите, что «число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в».

2. Используя теоретико-множественное истолкование вычитания и его свойств, решите следующие примеры из начального курса математики:

а) 48 – 30;                  б)12 – 5;                в) (17 – 2) – 5;   

г) 84 – (70 – 16); д) 24 + (76 – 28).

3. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств и, используя его, объясните, что:

а) 3 · 4 = 12;   б) 4 · 1 = 4;            в) 4 · 0 = 0.