Определение. Два целых неотрицательных числа а и в называют равными, если они определяются равномощными множествами А и В.
Символически это определение можно записать так:
(А ~ В, где n (А) = а, n (В) = в)Þ а = в.
Здесь n (А) = а и n (В) = в читаются соответственно: «число элементов множества А равно а» и «число элементов множества В равно в».
Рассмотрим основные свойства отношения равенства.
1°. (" a Î N 0) [ а = а ] – рефлексивность.
2°. (" a, в Î N 0) [ a = в => в = а ] – симметричность.
3°. (" a, в, с Î N 0) [ a = в Ù в = с Þ а = с ] – транзитивность.
Справедливость этих свойств вытекает из определения равенства целых неотрицательных чисел и свойств эквивалентности множеств.
Если множества А и В неравномощны, то числа определяемые ими, различны.
Определение. Условимся говорить, что целое неотрицательное число а меньше целого неотрицательного числа в и записывать а < в, если А ~ В 1, где В 1 Ì В и n (А) = а, n (В) = в.
Если а меньше в, считают, что в больше а и пишут в > а.
П р и м е р. Исходя из теоретико-множественной трактовки отношения «меньше», объясните, что 2 < 5.
Решение. Пусть 2 – это число элементов некоторого множества А = { а, в }, а 5 – число элементов некоторого множества В = { к, m, n, l, е }, т.е. 2 = n (А), 5 = n (В). Выделим в множестве В подмножество В 1 = { m, n } эквивалентное множеству А. Итак, 
, где В 1 Ì В. Значит,
n (А) < n(В), т.е. 2 < 5.
Рассмотрим теперь основные свойства отношения «меньше».
1°. (
Î N 0) [ a < a ] – антирефлексивность.
Пусть а = n (А). Т.к. А – конечное множество, то оно не может быть эквивалентно никакому своему собственному подмножеству, т.е. не может выполняться А Ì А, а следовательно и а < а невозможно.
2°. (" a, в Î N 0)[ a < в ≠> в < a ] – антисимметричность.
В самом деле а < в означает А ~ В 1 Ì В, где а = n (А), в = n (В), а состав множеств А и В – произвольный. Множество А может быть выбрано совпадающим с множеством В 1. Тогда можно записать A Ì B. Если предположить, что и в < а, аналогично рассуждая, получим 
, что невозможно в силу антисимметричности отношения строгого включения множеств. Значит и в < а невозможно.
3°. (" a, в, c Î N 0) [ a < в Ù в < c Þ a < c ] – транзитивность. Это свойство следует из транзитивности отношения строгого включения множеств.
Контрольные вопросы и упражнения
1. С теоретико-множественных позиций докажите, что «число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в».
2. Используя теоретико-множественное истолкование вычитания и его свойств, решите следующие примеры из начального курса математики:
а) 48 – 30; б)12 – 5; в) (17 – 2) – 5;
г) 84 – (70 – 16); д) 24 + (76 – 28).
3. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств и, используя его, объясните, что:
а) 3 · 4 = 12; б) 4 · 1 = 4; в) 4 · 0 = 0.
4. Обоснуйте различные способы решения следующей задачи:
В вазе лежало 6 яблок и 4 апельсина, их нужно разделить между двумя детьми. Сколько фруктов получил каждый ребенок?
5. Объясните с теоретико-множественных позиций смысл следующего равенства: 15 = 7 · 2 + 1.
Теоретико-множественный подход рассматривает натуральное число как количество элементов любого множества из класса эквивалентных множеств. В этом подходе определяется количественное натуральное число. В основу теории положены понятия конечного множества и взаимно однозначного соответствия.
