Определение. Разностью а – в двух целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию: в + с = а.
Действие, с помощью которого находится разность чисел а – в, называют вычитанием.
Теорема 1. Разность двух целых неотрицательных чисел а – в существует тогда и только тогда, когда а ≥ в.
Доказательство. Докажем сначала достаточность названного условия, т.е. докажем, что если а ≥ в, то разность а – в существует. Пусть а ≥ в, значит ($ k Î N 0)[ a = в + k ]. Следовательно, разность а – в существует и равна k Î N 0.
Теперь необходимость. Т.е., если а – в существует, то а ≥ в. Итак, по условию разность а – в существует и пусть она равна некоторому целому неотрицательному числу k, т.е. а – в = k. Прибавим к обеим частям равенства целое неотрицательное число в, тогда получим:
в + (а – в) = в + k, или а = в + k Þ а ≥ в.
Теорема 2. Если разность целых неотрицательных чисел существует, то она единственная.
Доказательство. Пусть $ c 1, c 2 Î N 0, такие, что а – в = с 1 и а – в = с 2. Тогда а = в + с 1 и а = в + с 2, т.е. в + с 1 = в + с 2 Þ с 1 = с 2 , т.к., если бы с 1> с 2 Þ в + с 1> в + с 2 по свойству монотонности операции сложения.
Теорема 3. (" a, в, с Î N 0) [ a ≥ в Þ (а – в) · с = а · с – в · с ].
Эта теорема выражает дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания.
Доказательство. а · с = [ в + (а – в)] · с = в · с + (а – в) · с, т.е.
а · с = в · с + (а – в) · с, или (а – в) · с = а · с – в · с. Что и требовалось доказать.
Деление целых неотрицательных чисел
Определение. Частным а: в двух целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию а = в · с.
Действие, с помощью которого находится частное чисел а и в, называют делением.
Замечание. Рассмотрим частные случаи, возникающие при делении, когда хотя бы одно из чисел а или в равно 0.
Пусть а = 0, в ≠ 0. По определению а: в = с, если а = в · с. В последнем равенстве левая часть равна 0, значит и правая часть равна 0. Т.к. в ≠ 0, значит с = 0. Итак, при делении нуля на число не равное нулю, частное равно нулю.
Пусть теперь а ≠ 0, в = 0. Тогда равенству а = в · с не удовлетворяет ни одно целое неотрицательное с, в самом деле, при любом с левая часть равенства не равна 0, а правая равна 0. Итак, деление натурального числа на нуль невозможно.
Пусть а = в = 0. Тогда равенству а = в · с удовлетворяет любое число с. В этом случае деление не определено однозначно.
Теорема. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в ≤ а. Если частное существует, то оно единственно.
Доказательство существования частого.
Пусть частное натуральных чисел а и в существует, т.е. существует такое натуральное число с, что в · с = а. Для любого натурального числа с имеем, что 1 ≤ с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число в, получим в ≤ в · с. Так как в · с = а, то в ≤ а.
Доказательство единственности частного.
Предположим, что существует два частных q 1 и q 2, тогда в · q 1 = а, и в · q 2 = а или вq 1 = вq 2 Þ в (q 1 – q 2) = 0. Т.к. в ≠ 0, то q 1 – q 2 = 0, следовательно, q 1 = q 2.
Правила деления
1. Правило деления суммы на число. Если частные натуральных чисел а и с, в и с существуют, то
(а + в): с = а: с + в: с.
Доказательство. Пусть q 1 частное чисел а и с, q 2 – частное чисел в и с, т.е. а = с · q 1, в = с · q 2, следовательно, а + в = cq 1 + cq 2 = c (q 1 + q 2). Последнее равенство означает, что частное получаемое при делении а + в на с, равно q 1 + q 2, т.е. а: с + в: с.
Примечание: а: (в + с) ≠ а: в + а: с.
Например, 66: (2 + 4) ≠ 66: 2 + 66: 4.
2. Правило деления разности на число. Если частные натуральных чисел а и с, в и с существуют и а ≥ в, то (а – в): с = а: с – в: с.
Доказательство этого правила аналогично доказательству правила деления суммы на число. (Читателю предлагается выполнить его самостоятельно).
П р и м е р. 192: 4 = (200 – 8): 4 = 200: 4 – 8: 4 = 50 – 2 = 48.
3. Правило деления произведения на число. Если существует частное чисел а и с, то (а · в): с = (а: с) · в. Если существует частное чисел в и с, то (а · в): с = (в: с) · а.
Доказательство. Пусть частное чисел а и с существует и равно х, тогда а = с · х, умножим обе части этого равенства на в, получим а · в = с · х · в = с · (в · х) и потому (а · в): с = в · х = в · (а: с) = = (а: с) · в.
П р и м е р. 560: 7 = (56 · 10): 7 = (56: 7) · 10 = 80.
4. Правило деления числа на произведение. а: (в · с) = (а: в): с = (а: с): в. Докажем, что а: (в · с) = = (а: в): с. Обозначим а: (в · с) = t Þ а = (в · с) · t. а: в = ((в · с) · t): в = с · t. (а: в): с = (c · t): с = t.
П р и м е р. 480: 60 = 480: (6 · 10) = (480: 10): 6 = 48: 6 = 8.
В начальном курсе математики определение деления как операции обратной умножению в общем виде не дается, но постоянно используется. В начальных классах дается пояснение: деление связано с умножением. Разделить 48 на 4 – значит найти число, которое при умножении на 4 дает 48. Это число 12. Значит, 48: 4 = 12.
Деление с остатком
Рассмотрим пример из начального курса математики:
|
7368 24
72 307
|
168
0
В этом примере пришлось 3 раза выполнять деление с остатком:
73: 24 = 3 (ост. 1);
16: 24 = 0 (ост. 16);
168: 24 = 7 (ост. 0).
С делением с остатком ученики знакомятся во втором классе на примерах: 11:2 = 5 (ост. 1), 19: 4 = 4 (ост. 3). Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.
Определение. Делением с остатком натурального числа а на натуральное число в называют правило, посредством которого находится пара натуральных чисел q – неполное частное и r – остаток, удовлетворяющих следующим условиям:
1) а = вq + r,
2) 0 ≤ r < в.
Теорема. Каковы бы ни были натуральные числа а и в частное q и остаток r при делении а на в всегда существуют и притом единственные.
Доказательство существования частного и остатка.
В случае, когда а делится на в, а: в = q (ост.0), значит, а = вq + 0, 0 ≤ 0 < в.
В случае, когда 0 < а < в и а не делится на в, а: в = 0 (ост. а), значит, а = в · 0 + а, 0 ≤ а < в.
В случае, когда а > в и а не делится на в (например.86: 10), для отыскания частного и остатка проведем следующие рассуждения. Рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел, кратных в:
в · 1, в · 2, в · 3,..., в · q, в (q + 1), ….
Эта последовательность возрастающая, т.к. в ≥ 1. Нетрудно заметить, что число а расположится между двумя членами рассматриваемой последовательности, но ни с одним из членов последовательности совпадать не будет, т.к. по условию а не кратно в. Найдем наибольшее q, для которого в · q < a и в (q + 1) > а. Так как a > вq, то разность а – вq существует, т.е. а – вq = r, где r Î N 0, т.к. в (q + 1) > а, то вq + в > а и в > а – вq, т.е. в > r. Мы доказали, что найденное r < в. Итак, для всех возможных случаев:
1) а = вq + r,
2) 0 ≤ r < в.
Паре (а, в) поставили в соответствие пару (q, r).
Докажем единственность частного и остатка.
Предположим, что для пары (а, в) существует 2 пары чисел: 2 частных и 2 остатка, для которых:
.
Левая часть последнего равенства делится на в, значит и правая должна делиться на в, но r 1 < в, r 2 < в, значит r 2 – r 1 < в, отсюда r 2 – r 1 = 0. Значит, r 1 = r 2 и q 1 = q 2. Единственность доказана.
Следствие. Если делимое и делитель при делении с остатком увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, а остаток, соответственно, увеличится или уменьшится во столько же раз.
Действительно, пусть а: в = q (ост. r), тогда:
1) а = вq + r,
2) 0 ≤ r < в.
Умножим обе части 1) и 2) на т Î N, получим:
1) am = в q т + r т,
2) 0 ≤ rm < в m.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Дайте определение разности целых неотрицательных чисел. Всегда ли она существует?
2. Сформулируйте условие существования разности целых неотрицательных чисел и докажите его. На какие понятия мы опираемся при доказательстве?
3. Дайте определение частного натуральных чисел. Всегда ли оно существует?
4. В чем особенность условия существования частного в множестве натуральных чисел?
5. Докажите, что если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.
6. Сформулируйте определение деления с остатком и, используя его, разделите с остатком 37 на 5, 32 на 7, 83 на 4. Выполните соответствующие записи.
7. Какие остатки могут получиться при делении числа на 4? на 7?
8. Какой вид имеют числа, при делении которых на 3 получается остаток, равный 2?
9. Из учебников математики для начальных классов приведите примеры заданий, в которых учащиеся выполняют деление с остатком.
КУРС 3 СЕМЕСТР
Лекция 1
Тема: Теоретико-множественный подход к построению множества целых
неотрицательных чисел (количественная теория)
План:
§ 1. Понятие целого неотрицательного числа.
§2. Сравнение целых неотрицательных чисел.
§ 3. Понятие целого неотрицательного числа
§ 4. Сравнение целых неотрицательных чисел
§ 5. Сложение целых неотрицательных чисел
Теоретико-множественный подход рассматривает натуральное число как количество элементов любого множества из класса эквивалентных множеств. В этом подходе определяется количественное натуральное число. В основу теории положены понятия конечного множества и взаимно однозначного соответствия.
