Из (А1) сложения (§ 1) ясно, что сумма любого целого неотрицательного числа а и нуля дает число а.
Определение 1. Целое неотрицательное число а равно целому неотрицательному числу в (а = в), если а + 0 = в.
Очевидно, что так определенное отношение «равно» рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Определение 2. Целое неотрицательное число а меньше целого неотрицательного числа в (а < в), если существует такое натуральное число с, что а + с = в.
В частности, т.к. а + 1 = а ', то имеем а < а '. Если а = 0, то 0 < 1, т.е. 0 – наименьшее целое неотрицательное число. Если число а < в, то говорят также, что в больше а и пишут в > а.
Докажем, что так определенное отношение «меньше» обладает свойствами транзитивности и антисимметричности, т.е.
а) (" a, в, с Î N 0) [ а < в Ù в < с = а < с ];
б) (" a, в Î N 0) [ а < в ¹> в < а ].
Доказательство а) Т.к. а < в и в < с, то по определению 2 найдутся такие натуральные числа k и т, что а + k = в и в + т = с, но тогда (а + k) + m = с. По ассоциативности сложения а + (k + т) = с. Поскольку k + т натуральное число, то (по определению 2) а < с.
Доказательство б) Предположим, что оба неравенства а < в и в < а выполняются. Тогда по транзитивности отношения «меньше» получим а < а, что невозможно, т.к. это противоречит (А1) сложения.
Т.к. отношение «меньше» транзитивно и антисимметрично, то оно является отношением порядка, а множество целых неотрицательных чисел – упорядоченным множеством.
Из приведенных определений и свойств вытекает следующая теорема.
Теорема. Для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется одно и только одно из отношений а < в, а = в, в < а.
Доказательство этой теоремы мы не приводим, выполните его самостоятельно.
С отношением «меньше» связаны две теоремы:
Теорема 1. (" a, в, с Î N 0) [ а < в Þ а + с < в + с ].
Эта теорема выражает закон монотонности сложения.
Теорема 2. (" a, в, c Î N 0) [ а < в Þ а · с < в · с ].
Эта теорема выражает закон монотонности умножения при с ≠ 0.
Докажем теорему 2 (доказательство теоремы 1 проводится аналогично).
Если а < в, то существует такое натуральное k, что а + k = в. Тогда (а + k) · с = в · с или по дистрибутивности умножения a · c + k · c = в · c, но k · с – это натуральное число, значит по определению отношения «меньше» а · с < в · с.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Сформулируйте определение умножения целых неотрицательных чисел.
2. Приведите примеры заданий для учащихся 1-4 классов, при выполнении которых используется условие а · в ¢ = ab + a.
3. Запишите правый дистрибутивный закон умножения относительно сложения и докажите его. Какие теоретические положения при этом используются? Какие преобразования выражения возможны на основании этого закона умножения?
4. Запишите левый дистрибутивный закон умножения целых неотрицательных чисел относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражения возможны на его основе?
5. Запишите ассоциативный закон умножения целых неотрицательных чисел и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на основании этого закона?
6. Докажите коммутативный закон умножения целых неотрицательных чисел.
7. Дайте определение отношения «меньше» для натуральных чисел. Почему это отношение является отношением порядка, а отношение «непосредственно следовать за» на является?
8. Запишите свойства транзитивности отношения «меньше» и докажите его.
9. Запишите законы монотонности сложения и умножения натуральных чисел. Какие свойства неравенств они выражают?
10. Используя теоретические положения данного параграфа, объясните истинность следующих выражений:
а) 5 < 7; б) 7 > 2; в) 3 + 7 > 3 + 6; г) 4 × 5 > 4 × 3.
11. Каковы свойства множества натуральных чисел? Ответы поясните.
Лекция 9 Тема: Вычитание и деление целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
План:
§ 1. Вычитание целых неотрицательных чисел. Основные свойства вычитания.
§ 2. Деление целых неотрицательных чисел.
§ 3. Правила деления.
§ 4. Деление с остатком.
