Теоретико-множественное истолкование умножения
Лекции.Орг

Поиск:


Теоретико-множественное истолкование умножения




Ранее было дано аксиоматическое определение умножения целых неотрицательных чисел.

В начальной школе используется подход к определению умножения, основанный на понятии суммы одинаковых слагаемых.

Теорема 1. Если в > 1, то произведение чисел а и в равно сумме в слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму в слагаемых, каждое из которых равно а, через а · в и, кроме того, положим, что а · 1 = а. Тогда, по определению суммы, имеем:

.

Значит, операция а · в подчиняется тем же требованиям, что и операция умножения, определенная ранее, а именно а · 1 = а и а · (в+1) = а · в + а. В силу единственности умножения получаем,       что а · в = в · а.

Таким образом, если а и в – целые неотрицательные числа, то

а) а · в = при в > 1;

б) a · 1 = а при в = 1;

в) a · 0 = 0 при в = 0.

Для вывода законов умножения целых неотрицательных чисел удобнее другое теоретико-множественное истолкование произведения. Оно связано с декартовым произведением множеств. Рассмотрим сначала следующий пример. Найдем декартово произведение множеств А = {а, в, с} и     В = {х, у}. Оно состоит из пар, которые мы запишем в виде прямоугольной таблицы.

(а, х), (а, у),

(в, х), (в, у),

(с, х), (с, у).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковый первый элемент, а в каждом столбце – одинаковый второй элемент. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов таблицы равно 2 + 2 + 2 = 6. С другой стороны n(А) = 3,         n(В) = 2, 3 · 2 = 6. На этом примере видим, что число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств равно произведению чисел элементов в этих множествах.

Теорема 2. Пусть А и В – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство n(А × В) = n(А) · n(В).

Доказательство. Пусть А = {а1, а2, ... , аq}, В = {вl, в2, в3, ... , вk}, причем k > l. Составим декартово произведение А×В и запишем в виде таблицы:

(а1, вl), (а1, в2), (а1, в3), ..., (а1, вk),

(а2, в1), (а2, в2), (а2, в3), ..., (а2, вk)

… …  …  … …

(аq, в1), (аq, в2), (аq, в3), ..., (аq, вk).

Число элементов в первой строке равно k, т.к. это элементы вида (a1, вi), где 1 ≤ i k и т.д. в строке с номером q число элементов равно k. Всего  элементов в таблице.

Сумма q слагаемых, каждое из которых равно k, это есть k · q. Итак, n(А × В) = k · q = n(А) · n(В). При k = 1, множество В содержит один элемент и число элементов декартова произведения равно q · 1 = q

При k = 0 В = Æ, тогда q · 0 = 0.

Свойства умножения:

1°. Коммутативность. ("a, в Î N 0)[a · в = в · а].
Так как А × В ~ В × А, то n(А × В) = n(В × А).

2°. Ассоциативность. ("a, в, с Î N 0) [(a · в) · с = а · (в · с)].

Так как (А × В) × С ~ А × (В × С) Þ n((А × В) × С) = n(А × (В × С)).

3°. Дистрибутивность относительно сложения.
("a, в, с Î N 0) [(а + в) · с = а · с + в · с].

Так как (A B) × C ~ (A × C)  (B × C), то

n ((A B) × C) = n ((A × C)  (B × C)).

Контрольные вопросы и упражнения

1. Используя теоретико-множественное истолкование вычитания и его свойств, решите следующие примеры из начального курса математики:

а) 48 – 30;                  б)12 – 5;                в) (17 – 2) – 5;   

г) 84 – (70 – 16); д) 24 + (76 – 28).

2. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств и, используя его, объясните, что:

а) 3 · 4 = 12;   б) 4 · 1 = 4; в) 4 · 0 = 0.

3. Обоснуйте различные способы решения следующей задачи:

В вазе лежало 6 яблок и 4 апельсина, их нужно разделить между двумя детьми. Сколько фруктов получил каждый ребенок?





Дата добавления: 2018-10-14; просмотров: 243 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.