Использование понятия «натуральное число как результат измерения величин» в начальном курсе математики

Перейдем к решению задач 1–5, условия которых даны ниже.

1. Женщина купила 3 кг сахара и 4 кг муки. Сколько кг продуктов было закуплено?

2. Длина шерстяного полотна была 8 метров, от него отрезали 3 метра. Сколько метров осталось в куске?

3. Мальчик купил 4 карандаша, заплатив по 3 коп. за каждый карандаш. Сколько копеек мальчик заплатил за карандаши?

4. 12 литров варенья разложили по трехлитровым банкам. Сколько потребовалось таких банок?

5. 12 литров варенья разложили в 4 банки, поровну в каждую банку. Сколько литров варенья было положено в каждую банку?

Решение задачи 1.

1. Строим единичный отрезок е, соответствующий массе 1 кг продуктов (т.к. в килограммах задано условие задачи).

1 кг

 е

2. Согласно условию задачи необходимо найти общую массу всех закупленных продуктов. Для этого составим соответствующий этой массе отрезок а. Сначала построим отрезок АВ, соответствующий массе 3 кг сахара, т_e (АВ) = 3.

Затем построим отрезок ВС (так, что: АС = АВ + ВС) – соответствующий массе 4 кг муки, т_е (ВС) = 4.

3 кг            4 кг

           а

Построенный отрезок а = АС соответствует массе всех закупленных продуктов.

3. Т.к. АС = АВ + ВС, то (согласно определению суммы натуральных чисел и замечанию 1) длина суммы отрезков равна сумме их длин:

т_е (АС) = т_е (АВ) + т_е (BC) = 3 + 4 = 7.

4. Ответ. Закуплено 7 кг продуктов (согласно замечанию 2).

Решение задачи 2.

1. Строим единичный отрезок е, соответствующий 1 метру длины (в метрах задано условие задачи).

 1 м

 е

2. Согласно условию задачи необходимо найти длину оставшегося куска полотна. Для этого составим соответствующий длине этого куска отрезок а. Сначала построим отрезок АС, соответствующий первоначальной длине полотна, т_е (АС) = 8. Затем построим отрезок АВ (так, что АС = АВ + ВС), соответствующий длине отрезанного куска, т_е (АВ) = 3.

 

 

Построенный отрезок а = ВС соответствует длине оставшегося куска полотна.

3. Т.к. АС = АВ + ВС, то (согласно определению разности натуральных чисел и замечанию 1) длина «разности» отрезков равна разности их длин:

т_e (ВС) = т_е (АС) – т_е (АВ) =8 – 3 = 5.

4. Ответ. Длина оставшегося куска полотна 5 метров (согласно замечанию 2).

Решение задачи 3.

1. Строим единичный отрезок е, соответствующий стоимости 1 карандаша (в условии говорится об общей стоимости 4-х карандашей).

стоим. 1 каранд.

е

2. Согласно условию задачи необходимо найти стоимость 4-х карандашей. Для этого составим соответствующий стоимости этих карандашей отрезок а, состоящий из 4-х отрезков равных единичному отрезку е; а = 4 е или т_е (а)= 4.

 

3. Строим новый единичный отрезок е ₁, соответствующий стоимости в 1 копейку (т.к. в копейках надо выразить ответ задачи). Для этого разобьем единичный отрезок е на три равных отрезка е ₁, так, что е = 3 · е ₁, или т_{е 1}(е) = 3 (т.к. 1 карандаш стоит 3 копейки).

е ₁  е ₁   е ₁                                   е ₁

 1 коп.

е

4. Так как отрезок а необходимо измерить с помощью новой (более мелкой) единицы длины е ₁ по сравнению со старой единицей длины е, то (согласно определению произведения и замечанию 1) результат можно найти путем умножения: т_{е 1}(a) = т_{е 1}(е) · т_е (а) =3 · 4 = 12.

5. Ответ. Стоимо сть всех карандашей равна 12 копейкам (согласно замечанию).

Решение задачи 4.

1. Строим единичный отрезок е, соответствующий объему 1 литра варенья (в литрах задано условие задачи).

1 л

	е

2. Согласно условию задачи необходимо измерить объем варенья с помощью банок. Для этого составим соответствующий этому объему отрезок а, состоящий из 12-ти отрезков, равных единичному отрезку е, а = 12 е или т_e (а)=12.

 

 

3. Строим новый единичный отрезок е ₁, соответствующий объему одной трехлитровой банки (т.к. ответ задачи требуется выразить в банках). Для этого составим отрезок е ₁, состоящий из 3-х отрезков, равных единичному отрезку е.

e _l (объем 1 банки) е ₁ = 3 е или т_е (е ₁) = 3.

 

4. Так как отрезок а необходимо измерить с помощью новой (более крупной) единицы длины е ₁ по сравнению со старой единицей длины е, то, согласно определению частного (1 случай) и замечанию 1, результат находим посредством деления: т_{е 1}(a) = т_е (a): т_е (e ₁) =12: 3 = 4.

5. Ответ. Потребуется 4 банки (согласно замечанию 2).

Решение задачи 5.

1. Строим единичный отрезок е, соответствующий объему 1 литра варенья (в литрах задано условие задачи).

1 л

	е

2. Согласно условию задачи необходимо узнать объем варенья разложенного в каждую из 4-х банок, если в каждую из банок положили варенья поровну. Для этого построим отрезок а, соответствующий объему всего варенья (12 литров), т.е. состоящий из 12-ти отрезков, равных единичному отрезку е, а = 12 е или т_е (а) = 12.

 

3. Затем разобьем этот отрезок а на 4 равных отрезка, каждый из которых обозначим е ₁, т.к. все варенье разложили поровну в 4 банки.

Тогда а = 4 е ₁ или (а) = 4.

Отрезок е ₁ – соответствует объему варенья в каждой из банок.

4. Так как деление натуральных чисел отражает переход к новой (более крупной) единице длины е ₁ (к банкам) и позволяет выразить его длину через старую единицу длины е, то, согласно определению частного (случай 2) и замечанию 1: т_е (е ₁) = т_е (a): т_{е 1} (a) =12: 4 = 3.

5. Ответ. В каждую из банок положили по 3 литра варенья (согласно замечанию 2).

Вывод. Подход к натуральным числам как мерам величин позволяет обосновывать выбор действия при решении задач с различными величинами.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Приведите графическую иллюстрацию условия задачи и обоснуйте выбор действия, которым она решается:

а) на 3 платья у портных пошло 12 м материи. Сколько метров материи пойдет на 2 таких же платья?

б) до обеда в буфете продали 5 трехлитровых банок сока, а после обеда 4 такие же банки. Сколько всего литров сока продали за день?